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课件网) 第6章 实数 知识结构图 开方 乘方 立方根 平方根 实数 有理数 无理数 互逆运算 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 知识点归纳 一、平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫 做a的平方根，记作 . 其中正的平方根也叫做算术平方根，记作 . 正数的平方根有___个，它们互为_____. 0的平方根、算术平方根都是___. 负数_____. 2 相反数 0 没有平方根 双重非负性： a≥0 对点练习1 下列各数有没有平方根？如果有，请指出它们的平方根和算术平方根；如果没有，请说明理由. 196 0.09 (-2)3 (-3)2 ±14 14 ±0.3 0.3 ±3 3 没有 因为(-2)3=-8＜0，而负数没有平方根. 二、立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫 做a的立方根，记作 . 正数的立方根是_____， 负数的立方根是_____， 0的立方根是_____. 正数 负数 0 注意： 对点练习2 说出下列各数的立方根： -1 0.512 (-2)3 0 -1 -2 0 0.8 2 三、实数 实数 有理数 无理数 整数 分数 正整数 0 负整数 正分数 负分数 正无理数 负无理数 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 无理数的三种一般情况： ①开不尽方的数； ② 及含 的一些数； ③有一定规律，但不循环的无限小数. 实数与数轴上的点一一对应. 实数 数轴上的点 一一对应 实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内一样. 两个实数也可以像有理数一样比较大小：数轴上右边点所表示的数总比左边点所表示的数大. 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正实数和零可以进行开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.有理数的运算律和运算法则对于实数同样适用. 对点练习3 1.下列各数：① ；②0；③ ； ④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ⑧0.252252225…(相邻两个5之间依次多一个2). 其中是有理数的有_____， 是无理数的有_____（填序号）. ①②⑤⑦ ③④⑥⑧ 2.判断： ①每个实数都有倒数. ② 的相反数是 . ③到原点距离为 的点表示的数是 . ④实数和有理数都与数轴上的点一一对应. ⑤ ＜3.14. ⑥两个无理数的和一定是无理数. × √ × × × × 易错题辨析 1. 的平方根是_____. 错解：±4 正解：±2 辨析：造成错解的主要原因是没有理解 算术平方根的概念，应先求 ，即16 的算术平方根，再求结果的平方根. 2.解方程：(x-1)2=36. 错解：(x-1)2=36 x-1=6 x=7 正解：(x-1)2=36 x-1=±6 x=7或x=-5 辨析：本题错解的原因是没有理解平方 根的概念，因为正数的平方根有两个， 所以开平方时有正负两个平方根. 3.若︱x︱= ，则x=_____. 错解： 正解：± 辨析：实数的绝对值的意义与有理数的 绝对值的意义一样，已知一个数的绝对 值，求这个数，通常都有正负两个值， 千万不能漏解. 学习方法总结 1.深刻理解平方根、立方根、无理数和实数的概念与意义，特别是对一些特殊情况的掌握，对于解题很重要，如0的平方根、算术平方根、立方根都是0本身等. 2.掌握对比、类比的学习方法，如平方根与立方根的对比学习，实数与有理数的意义及运算的类比学习等. 典例讲解 例1 已知一个数的平方根是x-1与3x-35，求这个数的立方根. 解：若这个数是正数， 则x-1+3x-35=0， 解得x=9， ∴x-1=8，3x-35=-8， ∴这个数是(±8)2=64； 若这个数是零， 则x-1=0且3x-35=0， 解得x=1且x= ， x的值互相矛盾，故这种情况应舍去， ∴综上所述，这个数是64， ∴这个数的立方根是 =4. 例2 计算： -4÷ ＋ ×︱－ ︱－︱ -2︱ 解：原式=-4÷2＋(-3)× －(2－ ) =-2－1－2＋ = －5. 解题方法总结 1.解题时注意分类讨论的数学思想方法的运用，如例1，对于平方根，分正数和零两种情况讨论求解.又如，被开方数有正数和零两种情况，关于绝对值的求解问题等. 2.解计算题时，首先要弄清有 ... ...
