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课件网) 八年级数学·上 新课标 [人] 第十三章 轴对称 13.1 线段的垂直平分线的性质（1） 为方便居民的出行,准备在小河上修建一座桥.为了让A和B两个社区的居民到桥的距离都相等,建桥的位置应该选在哪 1.线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 如图所示,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到点A与点B的距离,你有什么发现 如图所示,设直线MN是线段AB的垂直平分线,点C是垂足,点P是直线MN上任意一点,连接PA,PB,我们要证明的是PA=PB. 图中有两个直角三角形, △APC和△BPC,只要证明这两个三角形全等,便可证得PA=PB. 已知:MN⊥AB,垂足为点C,AC=BC,点P 是直线MN上任意一点. 求证:PA=PB. 因为点P是线段的垂直平分线上一点,于是就有:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 证明:在△APC 和△BPC中, ∵PC=PC (公共边), ∠PCB=∠PCA(垂直定义), AC=BC (已知), ∴△APC ≌△BPC (SAS). ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). 2.线段的垂直平分线的判定 1.你能写出上面这个命题的逆命题吗 2.它是真命题吗 这个命题不是“如果……那么……”的形式,要写出它的逆命题,需分析原命题的条件和结论,将原命题写成“如果……那么……”的形式,逆命题就容易写出. 原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”,结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”. 写出逆命题后,就想到判断它的真假.如果真,那么需证明它;如果假,那么需用反例说明.如何证明？ 已知:线段AB,点P是平面内一点,且PA=PB. 求证:P点在AB 的垂直平分线上. 证法1 : 过点P 作已知线段AB 的垂线PC, ∵PA=PB,PC=PC, ∴Rt△PAC ≌Rt△PBC (HL). ∴AC=BC,即P 点在AB 的垂直平分线上. 又∵∠PCA+∠PCB=180°, ∴∠PCA=∠PCB=90°,即PC⊥AB, ∴P点在AB的垂直平分线上. 证法2 :取AB 的中点C,过P,C 作直线. ∵PA=PB,PC=PC,AC=CB, ∴△APC≌△BPC(SSS). ∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等). 证法3 :过P 点作∠APB 的平分线, ∵PA=PB,∠APC=∠BPC,PC=PC, ∴△APC≌△BPC(SAS). ∴AC=BC,∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应边相等,对应角相等). 又∵∠PCA+∠PCB=180°, ∴∠PCA=∠PCB=90°, ∴P点在AB的垂直平分线上. 线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题,我们把它称为线段的垂直平分线的判定. 作法:(1)任意取一点K,使点K 和点C 在AB 的两旁. (2)以点C 为圆心,CK 长为半 径作弧,交AB 于点D 和E. (4)作直线CF. 直线CF 就是所求作的垂线。 K C A B D E F 尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知:直线AB 和AB 外一点C (如图所示). 求作:AB 的垂线,使它经过点C. (3)分别以点D和点E为圆心,大于 DE的长为半径作弧,两弧相交于点F. 小结 1.线段的垂直平分线的判定与性质互为逆命题. 2.线段的垂直平分线的集合定义包含两个意思. (1)到线段两个端点的距离相等的点都在线段的垂直平分线上. (2)在线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 1．如图所示,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=4 cm,△ABD的周长为14 cm,则△ABC的周长为 ( ) A.18 cm B.22 cm C.24 cm D.26 cm B 2．如图所示,四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是 ( ) A.AB=AD B.CA平分∠BCD C.AB=BD D.△BEC≌△DEC C 3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,下列结论错误的是 ( ) A.BD平分∠ABC B.△BCD的周长等于AB+BC C.AD=BD=BC D.点D是线段AC的中点 解析:∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°, ∵AB的垂直平分线是DE,∴AD=BD, ∴∠ABD=∠A=36°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°=∠ABD, ∴B ... ...
