第六章 平面向量初步（知识梳理+热考题型）-2023-2024学年高一数学人教B版2019必修第二册

第六章 平面向量初步 单元复习 【知识梳理】 一、向量的有关概念 (1)向量及向量的模 一般地，我们把既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称为向量的模(或长度). (2)向量及其模的表示法、记法、写法 我们用有向线段来直观地表示向量，其中有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为，此时向量的模用||表示. 通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母如，，等来表示向量.此时，向量a的模也用|a|或||来表示. (3)零向量与单位向量 ①零向量：始点和终点相同的向量称为零向量.记作0.可以认为零向量的方向是不确定的. ②单位向量：模等于1的向量称为单位向量. 二、向量的相等与平行 (1)相等向量 一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量. (2)向量平行(向量共线) 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量平行.两个向量平行也称为两个向量共线. 三、向量加法法则 图示 几何意义 三角形法则 平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则向量称为a与b的和(也称为向量a与b的和向量)，记作a＋b，a＋b＝＋＝ 平行四 边形 法则 平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，＝＋＝＋ 四、向量加法的运算律及模之间的不等式 (1)向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. (2)向量加法的运算律 ①加法交换律对于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋a. ②加法结合律对于任意a，b，c，都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 五、向量的减法 (1)向量的减法法则 定义 平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，记作x＝a－b 向量减法的 三角形法则 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，因此向量就是向量a和b的差(也称为向量a与b的差向量)，即－＝ 结论 ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| (2)相反向量 定义 给定一个向量，我们把这个向量方向相反，大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作－a 性质 (1)零向量的起点与终点相同，于是－0＝0； (2)任何一个向量与它的相反向量的和等于零向量，即a＋(－a)＝0，＋(－)＝0； (3)一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量 六、数乘向量 (1)数乘向量 一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λa|＝|λ||a|，若a≠0，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反.当λ＝0或a＝0时，λa＝0.数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小. (2)数乘向量的运算律 设λ，μ为实数，则①(λ＋μ)a＝λa＋μa； ②λ(μa)＝(λμ)a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 七、向量的线性运算 (1)向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘向量以及它们的混合运算，通常叫作向量的线性运算. (2)向量共线 一般地，如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线. 八、共线向量基本定理 (1)共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. (2)三点共线的性质 已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得＝(1－t)＋t，即存在实数x，y，使得＝x＋y(x＋y＝1). 九、平面向量基本定理 (1)基底：平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下 ... ...