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课件网) 5.6 函数 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 问题导入 我们知道，单位圆上的点，以(1,0)为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画.对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？下面先看一个实际问题. 问题：筒车是我国古代发明的一种水利灌输工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理。 新知探索 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒(视为质点)距离水面的相对高度与时间的关系吗？ 因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律。 思考1：与盛水筒运动相关的量有哪些 它们之间有怎样的关系？ 新知探索 如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过后，盛水筒从点运动到点.由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度，由以下量所决定：筒车转轮的中心到水面的距离，筒车的半径，筒车转动的角速度，盛水筒的初始位置以及所经过的时间. 下面我们分析这些量的相关关系，进而建立盛水筒运动的数学模型. 如图，以为原点，以与水平面平行的直线为轴建立直角坐标系.设时，盛水筒位于点，以为始边，为终边的角为，经过后运动到点于是，以为始边，为终边的角为，并且有 ① 所以盛水筒距离水面的高度与时间的关系是 ② 函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律.由于是常量，我们可以只研究函数①的性质。下面我们分析这些量的相关关系，进而建立盛水筒运动的数学模型. 5.6.2 函数的图象 新知探索 上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如(其中)的函数.显然，这个函数由参数所确定.因此，只要了解这些参数的意义，知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质. 思考2：从解析式看，函数就是函数在时的特殊情形. (1)能否借助我们熟悉的函数的图象研究参数对函数的影响？ (2)函数含有三个参数，你认为应按怎样的思路进行研究？ 新知探索 1.探索对图象的影响 为了更加直观地观察参数对函数图象的影响，下面借助信息技术做一个数学实验. 如图，取动点在单位圆上以单位角速度按逆时针方向运动. 如果动点以为起点(此时)，经过后运动到点，那么点的纵坐标就等于. 以为坐标描点，可以得到正弦函数的图象. 新知探索 思考3：在单位圆上拖动起点，使点绕点旋转到，你发现图象有什么变化？如果使点绕点旋转，或者旋转一个任意角呢？ 当起点位于时，可得函数的图象. 进一步，在单位圆上，设两个动点，分别以为起点同时开始运动. 如果以为起点的动点到达圆周上点的时间为，那么以为起点的动点相继到达点的时间是 这个规律反映在图象上就是：如果是函数图象上的一点，那么就是函数图象上的点，如图所示. 新知探索 这说明，把正弦曲线上的所有点向左平移个单位长度，就得到的图象. 一般地，当动点的起始位置所对应的角为时，对应的函数是，把正弦曲线上的所有点向左(当时)或向右(当时)平移个单位长度，就得到函数的图象. 思考4：分别说一说旋转，，时的情况. 新知探索 2.探索对图象的影响 下面,仍然通过数学实验来探索.如图，取圆的半径为了研究方便，不妨令.当时得到的图象. 思考5：取，图象有什么变化？取呢？取，，图象又有什么变化？当取任意实数呢？ 取时，得到函数的图象. 进一步，在单位圆上，设以为起点的动点， 当时到达点的时间为， 当时到达点的时间为.因为时动点的转速是的2倍，所以. 这样，设是函数图象上的一点，那么就是函数图象上的相应点，如图所示.这说明，把的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的 ... ...
