2024北师大版数学七年级下册--专项素养综合全练(八)全等三角形中的常见模型（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024北师大版数学七年级下册 专项素养综合全练(八) 全等三角形中的常见模型 类型一　平移模型 1.如图,已知AB=DE,AD=CF,∠A=∠FDE,求证:△ABC≌△DEF. 类型二　对称模型 2.(2023辽宁大连一模)如图,AB=AD,∠B=∠D,∠BAE=∠DAC.求证:AC=AE. 类型三　角平分线模型 3.如图,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:PD=PE. 类型四　8字模型 4.如图,AC∥BD,AC=BD,求证:OA=OB. 5.如图,已知AB=CD,BE=DF,AE=CF,求证:OC=OA,OF=OE. 类型五　旋转模型 6.如图,已知△ABC和△AEF中,∠B=∠E,AB=AE,BC=EF,求证:∠BAE=∠CAF. 7.如图,AB=AE,AB∥DE,∠DAB=65°,∠E=37°. (1)求∠DAE的度数; (2)若∠B=28°,求证:AD=BC. 类型六　一线三等角模型 8.(2023河南信阳期中)某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度,在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C,使B,C,D在一条直线上,测得大树顶端A的视线CA与居民楼顶端E的视线CE的夹角为90°,若AB=CD=12米,BD=64米,请计算出该居民楼ED的高度. 9.如图,在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC.请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系,并说明理由. 10.如图所示的是小明和爸爸妈妈在公园里荡秋千的示意图,小明坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,小明两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1.2 m高的B处接住他后用力一推,爸爸在C处接住他.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.6 m和2 m,且∠BOC=90°. (1)△OBD与△COE全等吗 请说明理由. (2)爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的 答案全解全析 1.　证明　∵AD=CF,∴AD+CD=CF+CD,∴AC=DF, 又∵AB=DE,∠A=∠FDE,∴△ABC≌△DEF(SAS). 2.　证明　∵∠BAE=∠DAC, ∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC, ∴∠BAC=∠DAE, 在△ABC和△ADE中, ∴△ABC≌△ADE(ASA),∴AC=AE. 3.　证明　∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠PDO=∠PEO=90°, 在△PDO和△PEO中, ∴△PDO≌△PEO(AAS),∴PD=PE. 4.　证明　∵AC∥BD,∴∠C=∠D, 在△AOC和△BOD中, ∴△AOC≌△BOD(AAS),∴OA=OB. 5.　证明　∵AB=CD,BE=DF,AE=CF, ∴△BAE≌△DCF(SSS),∴∠D=∠B, 又∵∠DOC=∠BOA,DC=AB, ∴△DOC≌△BOA(AAS),∴OD=OB,OC=OA, ∵DF=BE,∴OD-DF=OB-BE,∴OF=OE. 6.　证明　∵AB=AE,∠B=∠E,BC=EF, ∴△ABC≌△AEF,∴∠BAC=∠EAF, ∴∠BAC-∠BAF=∠EAF-∠BAF,∴∠BAE=∠CAF. 7.　解析　(1)∵AB∥DE,∠E=37°,∴∠EAB=∠E=37°, ∵∠DAB=65°, ∴∠DAE=∠DAB-∠EAB=65°-37°=28°. (2)证明:由(1)得∠DAE=28°, ∵∠B=28°,∴∠DAE=∠B, 在△ADE与△BCA中, ∴△ADE≌△BCA(ASA),∴AD=BC. 8.　解析　由题意可知∠ABC=∠CDE=∠ACE=90°, ∴∠ACB+∠DCE=180°-90°=90°,∠ACB+∠BAC=90°, ∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC,∴∠DCE=∠BAC, 在△ABC和△CDE中, ∴△ABC≌△CDE,∴ED=BC, 又∵CD=12米,BD=64米, ∴BC=BD-CD=64-12=52米,∴ED=52米. 答:该居民楼ED的高度为52米. 方法解读　本题属于同侧一线三等角模型,根据等角代换得到一组等角,结合已知条件中的一组边相等和90度的角,可通过ASA得到三角形全等,进而求出高度. 9.　解析　DE=BD+CE,理由如下: ∵∠DBA+∠BAD+∠BDA=180°,∠BAD+∠CAE+∠BAC=180°,∠BDA=∠AEC=∠BAC, ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE, ∴∠CAE=∠ABD, 在△ADB和△CEA中, ∴△ADB≌△CEA(AAS), ∴AE=BD,AD=CE,∴BD+CE=AE+AD=DE. 10.　解析　(1)根据题意,得∠OEC=∠ODB=90°,OA=OB=OC, ∴∠COE+∠OCE=90°, ∵∠BOC=90°,∴∠BOD+∠COE=90°, ∴∠OCE=∠BOD, 在△COE与△OBD中,∵ ∴△COE≌△OBD. (2)由(1)得△COE≌△OBD, ∴OE=BD=1.6 m,OD=CE=2 m, ∴DE=OD-OE=0.4 m ∵妈妈在距地面1.2 m高的B处接住小明, ∴爸爸是在距离地面1.2+0.4=1.6 m的地方接 ... ...