专题五 解析几何解答题 考点一：直线与圆锥曲线的位置关系 【背一背重点知识】 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即消去y后得ax2＋bx＋c＝0.通过这个方程解的情况判断直线与圆锥曲线的位置关系，具体如下表所示。21·世纪*教育网 方程ax2＋bx＋c＝0的解. 交点个数 l与C的关系 a＝0[21世纪教育网 b=0 无解（含双曲线的渐近线）21世纪教育网 无公共点 21世纪教育网 b≠0 有一解（含与双曲线的渐近线的平行线或抛物线的对称轴平行的直线） 一个交点 相交 a≠0 Δ＞0 两个不等的解 两个交点 相交 Δ＝0 两个不等的解 一个交点 相切 Δ＜0 无实数解 无公共点 相离 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长的定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算： 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝·|y1－y2|.（抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，θ为弦AB所在直线的倾斜角)． 【讲一讲提高技能】 利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数 利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元转化成一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，即方程为一次方程；若不为0，则方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解。21教育名师原创作品 例1、已知椭圆：. （1）求椭圆的离心率； （2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论. 2、利用弦长公式求解直线与圆锥曲线的弦长问题 当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则|AB|＝·|x1－x2|＝|y1－y2|，而|x1－x2|＝，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解． 例2、如图,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知,且. (1)求的方程; (2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值. 3、利用点差法求解圆锥曲线问题 点差法是一种常见的设而不求的方法，在解答平面解析几何的某些问题时，合理的运用点差法，可以有效减少解题的运算量，达到优化解题过程的目的。点差法的基本过程为：设点、代入、作差、整理代换。21·cn·jy·com 例3 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆与直线,四点，， （）中有三个点在椭圆C上，剩余一个点在直线上． (I)求椭圆C的方程； (Ⅱ)若动点P在直线上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得，再过P作直线.证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【练一练提升能力】 1. 如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为. 求的值； 过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程. 2.已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点， （ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标； （ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 3. 圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为. （1）求的方程； （2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆 ... ...
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