江苏省苏州市常熟重点中学2023-2024学年高二上学期12月学业水平调研数学试卷（含答案）

2023～2024年度第一学期高二年级十二月阶段性学业水平调研 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知等比数列中，，，则（ ） A.4或 B. C.4 D.8 2.已知直线与双曲线无公共点，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆的公共弦（ ） A. B. C. D.2 4.已知抛物线经过点，点M到抛物线C的焦点F的距离为3，则抛物线C的准线方程为（ ） A. B. C. D. 5.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点O为圆心，短轴长为直径作，P为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过P作的两条切线，切点分别为A，B，直线与x，y轴分别交于M，N两点，则（ ） A. B. C. D. 6.已知，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为（ ） A.1 B.2 C.4 D.5 7.设已知数列的前n项和为，，当时，，则等于（ ） A.1008 B.1009 C.1010 D.1011 8.在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆上，且直线，的斜率之积为，则（ ） A.1 B.3 C.2 D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.以下四个命题为真命题的是（ ） A.过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B.直线的倾斜角的范围是 C.直线与直线之间的距离是 D.直线过定点 10.设，是抛物线上两点，O是坐标原点，若，下列结论正确的为（ ） A.为定值 B.直线过抛物线的焦点 C.最小值为16 D.O到直线的距离最大值为4 11.已知等比数列的公比为q，其前n项的积为，且满足，，，则（ ） A. B. C.的值是中最大的 D.使成立的最大正整数n的值为198 12.已知P为双曲线右支上的一个动点（异于顶点），、分别是双曲线的左、右焦点，的内切圆圆心为I，过作，垂足为A，下列结论正确的是（ ） A.I在定直线上 B.为定值 C.为定值 D.到为定值 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知直线与垂直，则实数m的值为_____. 14.在中，，，，则顶点C的轨迹方程是_____. 15.若倾斜角为的直线过椭圆的左焦点F且交椭圆于A，B两点，若，则椭圆的离心率为_____. 16.过椭圆上一动点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的取值范围为_____. 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（10分）已知曲线C的方程为，根据下列条件，求实数m的取值范围； （1）曲线C是椭圆； （2）曲线C是双曲线. 18.（12分）已知双曲线与有相同的焦点，且经过点. （1）求双曲线C的方程； （2）若直线l与双曲线C交于A，B两点，且的中点坐标为，求直线l的斜率. 19.（12分）已知点及圆. （1）若直线过点P且与圆心C的距离为1，求直线的方程. （2）设直线与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点的直线垂直平分弦 若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 20.（12分）已知数列满足，数列的首项为2，且满足. （l）求和的通项公式； （2）记集合，若集合M的元素个数为2，求实数的取值范围； （3）设，证明：. 21.（12分）已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为. （1）求双曲线C的方程； （2）若双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点，M在第一象限，直线与交于点Q.求证：点Q在定直线上. 22.（12分）在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心作一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P，Q. （1）若点M在第一象限且直线，互相垂直，求圆M的方程； （2）若直线，的斜率都存在，且分别记为，，求证：为定 ... ...