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课件网) 13.2.4 三角形内角和定理的证明及推论 第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明 13.2 命题与证明 1.经历探究“三角形内角和定理”的证明,知道作辅助线是证明 中的重要方法；(难点) 一、学习目标 2.理解三角形内角和定理的两个推论.(重点) 二、新课导入 回顾： 三角形的内角和等于多少？ 三角形内角和等于180° 在前面的课程中，通过拼接我们能发现三角形的三个内角拼到一起 恰好构成一个平角. 但是测量有误差，而且三角形有无数个，我们不可能用上述方法进 行一一验证.那有没有更加合理的方法证明呢？ 三、概念剖析 思考：在操作过程中, 我们发现了与边BC 平行的直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？ 通过添加与底边边平行的直线l，利用平行线的性质和平角的 定义即可证明结论． A B C l (一)三角形的内角和的证明 三、概念剖析 已知：△ABC ，求证:∠A+∠B+∠C=180°. 我们首先要写出写出已知和求证；如下： 如图过A作EF∥BC. ∴∠B=∠2 (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠1 (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换） F 2 1 E A B C 证法一： 三、概念剖析 证法二： 如图延长BC到D，过C作CE∥BA. ∴∠A=∠1 (两直线平行,内错角相等) ∠B=∠2 (两直线平行,同位角相等) ∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠BAC=180°（等量代换） E 2 1 D A B C 三、概念剖析 思路总结：为了证明三个角的和为180°,将三个内角转化为一个平角,这种转化思想是数学中的常用方法. 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线. 在平面几何里，辅助线通常画成虚线. E 2 1 D A B C 辅助线 三、概念剖析 问题1：如图，在直角△ABC中， ∠C=90°，你能求出∠A，∠B 的度数 吗？为什么？你能求出∠A +∠B 的度数吗 A C B 由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=180°, ∵∠C=90°，∴∠A +∠B=180°-90°=90°. 题目中只给出∠C的度数，所以我们无法∠A，∠B 的度数.但可以求出∠A +∠B 的度数. 思考：通过以上的问题，你能得出怎样的结论？ (二)三角形的内角和的推论 三、概念剖析 直角三角形的两个锐角互余． 应用格式：在Rt△ABC 中， ∵ ∠C =90°， ∴ ∠A +∠B =90°． 推论1： A C B 像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论． 结论：在三角形中一个角是90°，根据三角形内角和定理，另外两个角 的和应为90°. 问题2 ：如图，∠A +∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？为什么？ A C B 三、概念剖析 △ABC是直角三角形； 在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°； ∴△ABC是直角三角形. 那反过来，如果三角形中两个角互余，这个三角形是直角三角形吗？ 三、概念剖析 有两个角互余的三角形是直角三角形． 应用格式：在△ABC 中， ∵∠A +∠B =90°， ∴△ABC 是直角三角形°． 这样我们可以得出推论2： A C B 四、典型例题 例1.补充证明.已知：△ABC ，求证:∠BAC+∠B+∠C=180°. 如图过A作AE∥BC. ∴∠B=∠1 (两直线平行,内错角相等) ∠EAC+∠C=180° (两直线平行,同旁内角互补) ∵∠EAC=∠1+∠BAC，∠B=∠1，∠EAC+∠C=180°. ∴∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换） 1 E A B C 证明： 总结：为了证明三个角的和为180°,还可将三个内角转化为同旁内角. 【当堂检测】 1.补充证明.已知：如图，△ABC ，求证:∠A+∠B+∠C=180°. A B C D E F 1 2 3 4 D是BC边上一点，过D作DE∥AB，DF∥AC,分别交AC,AB于点E，F. 证明： ∵DE∥AB,(所作) ∴∠A=∠4，∠B=∠3(两直线平行,同位角相等) ∵DF∥AC,(所作) ∴∠C=∠1 ... ...
