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课件网) 第4课时 第五章 几何证明初步 5.6 几何证明举例 1.证明角平分线定理及其逆定理，并用其解决几何图形中的问题； 2.理解三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等. 思考1：你还记得角平分线的性质什么吗？在前面我们利用什么得出了角平分线的性质吗 写出已知、求证，然后再写出具体的证明过程. 角的轴对称性质 思考2：如何证明这个性质？ 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）， ∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义）. D P E A O B C ∠PDO=∠PEO， ∠AOC=∠BOC， OP=OP， ∴△PDO≌△PEO（AAS）， ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）. 命题：角平分线上的点到角两边的距离相等 在△PDO和△PEO中， 求证：PD=PE. 角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等. 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离. 应用格式：∵OP是∠AOB的平分线， PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE. D P E A O B C 讨论：请说出角平分线的性质定理的逆命题，它的逆命题是否正确？ 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 逆 命 题 思考：如何证明这个结论？ 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． P A O B C D E 已知：如图，P是∠ABC内的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是M、N，且PM=PN.求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明：连接MN，∵PM=PN， ∴∠PMN=∠PNM. ∵∠BMN与∠PMN互余，∠BNM与∠PNM互余， ∴∠BMN=∠BNM, ∴BM=BN. 过点B，P作射线BD. C A M B P N ∵BP=BP，∴△PBM≌△PBN（SSS）. ∴∠ABD=∠CBD,即点P在∠AOB的角平分线上. D 定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 应用格式：∵PM⊥AB，PN⊥BC，PM=PN， ∴点P在∠AOB的平分线上. C A M B P N D 例1：已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC. 求证：AM平分∠DAB. 证明：过M作ME⊥AD于点E， A M D C B E ∵∠B=∠C=90°， ∴MC⊥DC，MB⊥AB 又∵DM平分∠ADC， ∴ME=MC（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∵M是BC的中点，∴MC=MB， ∴ME=MB， ∴AM平分∠DAB（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）. 1.我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD.对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证:OE=OF. 证明:在△ABD和△CBD中，AB=CB，AD=CD，BD=BD ∴△ABD≌△CBD(SSS)， ∴∠ABD=∠CBD， ∴BD平分∠ABC. 又∵OE⊥AB，OF⊥CB， ∴OE=OF. 例2：已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到AB、BC、CA的距离相等. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF.（角平分线上的点到角两边的距离相等） ∴PD=PE=PF.（等量代换） 即点P到AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. D E F A B C P N M 想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 解：点P在∠A的平分线上. 证明：连接AP, 由上题可得，PD=PF. ∴AP平分∠BAC.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上） D E F A B C P N M 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 2.如图，在△ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC=60°，则∠BOC= ． 120° 解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等， ∴点O是△ABC三个内角的平分线的交点， 在△BCO中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=18 ... ...
