第23讲 计数综合二（教师版） 内容概述 涉及整数知识，具有教字或数阵图形式的计数问题．解题中需要灵活应用已学的各种计数方法，并注意结合题目的具体形式． 典型问题 兴趣篇 1．同时能被6、7、8、9整除的四位数有多少个？ 答案：18个。 详解：6、7、8、9的最小公倍数是504，9999以内504的倍数有19个，1000以内504的倍数有1个，因此满足条件的四位数有19—1=18个。 2．从1，2，3，…，9这9个数中选出2个数，请问： (1)要使两数之和是3的倍数，一共有多少种不同的选法？ (2)要使两数之积是3的倍数，一共有多少种不同的选法？ 答案：（1） 12种； （2）21种。 解析：（1）分情况讨论：第一种情况，取出的两个数都是3的倍数有3种；第二种情况，取出的两个数都不是3的倍数，则必一个除以3余1，另一个除以3余2，有9种。因此共有3+9=12种。 （2）两数之积是3的倍数，则至少有一个数是3的倍数，有3+18=21种。 3．在所有由1、3、5、7、9中的3个不同数字组成的三位数中，有多少个是3的倍数？ 答案：24个。 解析：3的倍数特征是数字和是3的倍数。这5个数中选出的3个数可能有4种情况，因此共有4*6=24个 4．用0至5这6个数字可以组成多少个能被5整除且各位数字互不相同的五位数？ 答案：216个。 解析：能被5整除的数的特征是个位数字是0或5.当个位是0时，有5*4*3*2=120个，个位是5时，有4*4*3*2=96个，因此共有120+96=216个。 5．个位比十位大的两位数共有多少个？个位比十位大，十位比百位大的三位数共有多少个？ 答案：36个，84个。 解析：十位为1时，个位有8种可能，十位为2时，个位有7种可能，依此下去，共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个。和第一问方法相同，共有28+21+15+10+6+3+1=84个。 6．如果称能被8整除或者含有数字8的自然数为“吉利数”，那么在l至200这200个自然数中有多少个“吉利数”？ 答案：56个。 解析：1至200中能被8整除的数有25个，含有数字8的有40个，出去重复的9个，共有25+40—9=56个。 7．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数称为“回文数”，例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是“回文数”，请问：从一位到六位的“回文数”一共有多少个？其中第1997个“回文数”是什么？ 答案：1998个，998899。 解析：一位回文数有9个，两位回文数有9个，三位回文数有90个，四位回文数有90个，五位回文数有900个，六位回文数有900个，共有9+9+90+90+900+900=1998个，第1997个为998899。 8. 有一些四位数的4个数字分别是2个不同的奇数和2个不同的偶数，而且不含有数字0，这样的四位数有几个？ 答案：1440个。 解析：个。 9．把2005、2006、2007、2008、2009这5个数分别填人图23-1的东、南、西、北、中5个方格内，使横、竖3个数的和相等，一共有多少种不同的填法？ 答案：24种 解析：这5个数中3个奇数，2个偶数。北+南=西+东 则中必为奇数，即有3种可能，共有3*8=24种。 10．从1至7中选出6个数字填入图23.2的的表中，使得相邻的两个方框内，下面的数字比上面大，右边的数字比左边大．请先给出一种填法，然后考虑一共有多少种填法？ 答案：14种。 解析：枚举法即可。 拓展篇 1．分子小于6，分母小于20的最简真分数共有多少个？ 答案：58个。 解析：分子为1时，有18个，分子为2时，有9个，分子为3时，有11个，分子为4时，有8个，分子为5时，有12个，共有18+9+11+8+12=58个。 2．从l、2、3、4、5、6、7这7个数中选出3个数，请问： (1)要使这3个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？ (2)要使这3个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？ 答案：（1）25种（2）13种 解析：（1）至少有一个是3的倍数，共有25种。（2）这7个数除以3的余数分别为1,2,0,1,2,0,1.有13种。 3．小明的衣服口袋中 ... ...
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