(
课件网) 第二章 一元二次方程 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点） 新课导入 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式 不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？ 讲授新课 思考1 从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0 (x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为 x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之 间的关系吗？ 讲授新课 归 纳 方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1＋x2＝－p，x1x2＝q. 讲授新课 一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？ 思考2 讲授新课 归 纳 方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系： 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为： 两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比． 讲授新课 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1)x2＋7x＋6＝0； (2)2x2－3x－2＝0. 解：(1)这里a＝1，b＝7，c＝6. Δ＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25>0. ∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1＋x2＝－7，x1x2＝6. (2)这里a＝2，b＝－3，c＝－2. Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－2)＝9＋16＝25>0， ∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1＋x2＝ ，x1x2＝－1. 讲授新课 例2 根据一元二次方程的根与系数的关系，求 下列方程两个根x1，x2的和与积： （1）x2－6x－15＝0 （2）3x2＋7x－9＝0； （3）5x－1＝4x2. 解： (1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15. (3)方程化为4x2－5x＋1＝0， 讲授新课 例3 方程 x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0 的两个实数根 x1，x2 满足x12＋x22＝4，则k的值为_____． 由x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝4，根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值． 导引： k＝1 讲授新课 总结常见的求值: 讲授新课 例4 已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值． 导引：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之 和可求出另一根，再运用两根之积求出常数项中p的值． 讲授新课 解： 设方程的两根为x1和x2， ∵x1＋x2＝6，x1＝2，∴x2＝4. 又∵x1x2＝ ＝p2－2p＋5＝2×4＝8， ∴p2－2p－3＝0，解得 p＝3或p＝－1. 讲授新课 已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根．也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值． 当堂练习 关于x的方程x2+px+q=0的根为x1=1+ ，x2=1- ，则p= ，q= . 已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，则另一根是 ， k＝ . -2 -1 -7 当堂练习 3.不解方程，求下列方程两个根的和与积： (1) x2－3x＝15； (2) 3x2＋2＝1－4x； (3) 5x2－1＝4x2＋x； (4) 2x2－x＋2＝3x＋1. 解：(1)方程化为x2－3x－15＝0， x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15. 当堂练习 当堂练习 4.已知x1, x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4； (1)求k的值； (2)求(x1-x2)2的值. 解：(1)根据根与系数的关系得 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得 k=-7. (2)因为k=-7,所以 则 课堂小结 根与系数的关系（韦达定理） 内容 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 应用 ... ...
