专题13 复数的概念和意义 学案(原卷版+解析版)

专题13 复数的概念和意义 【题型01 复数的概念】 【题型02 复数相等】 【题型03 复数的几何意义】 【题型04 共轭复数 】 一、复数的有关概念 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2=-1，实部是a，虚部是b. 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1.我们把i叫作虚数单位． 3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． 4、复数集：①定义：全体复数所成的集合． ②表示：通常用大写字母C表示． 【注意】复数概念说明： （1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. （2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi. （3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 二、复数的分类：对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下： 复数=实数 b=0 虚数(b≠0)(当a=0时为纯虚数). 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 三、复数相等 在复数集C中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， 我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 其中若Z=a＋bi=0则：a=0且b=0.解方程组即可 四、复数的几何意义 1、复平面:当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数； 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 五、复数的模 （1）定义：向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R)． 六、共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用z表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，z＝a－bi. 示例：z＝2＋3i的共轭复数是z＝2－3i. 【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝z， 也就是，任一实数的共轭复数是它本身． （2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等． 【题型01 复数的概念】 【典例1】给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数； ③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数． 其中错误说法的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 解析】复数2＋3i的虚部是3，①错； 形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，②错； 只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，③错； 若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以有3个错误 【典例2】(1)复数的实部为（ ） A．1 B． C． D． （2）（2021·全国·高一课时练习）若复数z＝i（a+i）（a∈R，i为虚数单位）的虚部为2，则a＝（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【答案】（1）B（2）B 【解析】（1），实部为，故选：B. （2）z＝i（a+i）＝﹣1+ai，由于复数z＝i（a+i）（a∈R，i为虚数单位）的虚部为2，∴a＝2，故选：B. 【题型02 复数相等】 【典例1】已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值. 【答案】x＝1，y＝1)或x＝－1，y＝－1.) 【解析】∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴x2－y2＝0，2xy＝2，)解得x＝1，y＝1)或x＝－1，y＝－1.) 【典例2】复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相 ... ...