3.4空间向量在几何体中的应用 3.4.3 求角的大小 第3章 空间向量及其应用 沪教版（2020）选择性必修第一册 求直线与直线的夹角 二面角 求直线与平面所成角 01 033 02 CONTANTS 目 录 求直线与直线的夹角 01 问题1：如何利用空间向量研究角度问题？ 直线与直线所成的角 直线与平面所成的角 平面与平面所成的角 直线方向向量的夹角 方向向量与法向量的夹角 法向量的夹角 追问1：两条直线夹角的定义是什么？ ????1 ? ????2 ? ???? ? ????2 ? ????1 ? ????1//????2 ? 规定????1与????2的夹角为0° ? 追问2：两条直线夹角????的取值范围是什么？ ? 0°≤????≤90° ? 平面内，两条直线????1， ????2相交向形成4个角，其中不大于90°的角称为两条直线????1与 ????2所成的角（或夹角）. ? 空间中，两条异面直线????1， ????2，经过空间任一点O分别做直线????1’ ∥ ????1 ， ????2’ ∥ ????2，我们把直线????1’与????2’所成的角叫做异面直线????1与 ????2所成的角（或夹角）. ? 追问3：两条直线的夹角????与它们方向向量的夹角有什么关系？ ? 本质：两直线所成角就是它们的方向向量所成角或其补角。 例题1.如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC,AD的中点，求直线CN和平面????????????所成角的正弦值. ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 解： (建系)如图取????????中点为点????，由题可知?????????????为正三角形， ∴????????⊥????????，如图，以点????为原点， ????????为????轴， ????????为????轴,建立空间直角坐标系 (求点坐标)则C32,0,0，D0,1,0，????0,?1,0， ????34,12,0，????(36，0，63) ，????312,12,66， (求相关向量坐标)从而????????=?5312,14,66， 又由题易知????=0,0,1为平面????????????的法向量 (进行向量运算) ∵cos?=CN?nCN?n=6632×1=23 (回到图形问题) ∴直线CN和平面????????????所成角的正弦值为23 ? 用空间向量求两条直线????1，????2夹角????的步骤与方法： ? 化为向量问题 进行向量运算 ①转化为求两直线????1，????2的方向向量????，????的夹角 ? ??②计算cos????，????=??????????????????的值 ? 回到图形问题 ③两条直线????1，????2夹角????的余弦值 ?????????????cos????=cos????，???? ? 求直线与平面所成角 02 探究：如图，设直线AB的方向向量为 ????，AC⊥平面α，垂足为C，平面α的法向量为????，思考：直线AB与平面α所成的角是哪个角？这个角与向量的夹角〈 ????，????〉之间满足什么关系式？ ? 直线AB与平面α所成的角是∠ABC＝θ ， ，sin θ＝|cos〈 ????，????〉|. ? 直线与平面所成的角的向量表示式：直线与平面相交，设直线与平面所成的角为θ， 直线的方向向量为 ????，平面的法向量为????，则sin θ＝|cos〈 ????，n〉|＝?????????????????. ? (2)当 ????，????与α，l的关系如右图所示时，l与α所成的角与两向量所成的角的补角互余．此时，sinθ＝-cos〈 ????，????〉. ? 思考：设平面α的斜线l的方向向量为 ????，平面α的法向量为????，l与α所成的角的公式为什么不是cosθ＝?????????????????？ ? (1)当 ????，????与α，l的关系如右图所示时，l与α所成的角与 ????，????所成的角互余．即sinθ＝cos〈 ????，????〉 ? 例题2.如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC,AD的中点，求直线CN和平面????????????所成角的正弦值. ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 解： (建系)如图取????????中点为点????，由题可知?????????????为正三角形， ∴????????⊥????????，如图，以点????为原点， ????????为????轴， ????????为????轴,建立空间直角坐标系 (求点坐标)则C32,0,0，D0,1,0，????0,?1,0， ????34,12 ... ...
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