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课件网) 3.3 幂函数 1.理解幂函数的概念，会求幂函数的解析式 2.结合函数图象理解幂函数的性质 观察：下列函数解析式有什么共同特征？ 知识点1：幂函数的概念 (1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付 p=w元，这里p是w的函数； (2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数； (3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数； (4)如果一个正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c= ，这里 c是S的函数； (5)如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v= km/s， 即v=t -1，这里v是t的函数. 把自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式是: y=x 上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数. y=x2 y=x3 y=x-1 y= 一般地，函数y = xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 例1 在函数① ; ② y = 3x3；③ y = 2x+1; ④ ; ⑤ y = x3； ⑥ 中，是幂函数的是_____. ①⑤⑥ 幂函数的特征: （1）xα的底数为自变量为； （2）xα的系数为1； （3）xα指数为常数. 只有同时满足这三个条件的，才是幂函数. 例2 已知幂函数的图象过点 ,试求出此函数的解析式. 解:设f(x)= xα,将 代入,得 3α= ∴该函数的解析式为 . 利用待定系数法.幂函数只有一个系数，只需要一个点的坐标即可求写出幂函数的表达式. 对于幂函数，我们只研究α=1,2,3， ，-1时图象的性质. 知识点2：幂函数的性质 思考：结合以往学习函数的经验，我们应该如何研究这些函数？ 通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题． 试在同一坐标系中画出函数y=x，y=x2，y=x3， ，y=x-1的图象. 观察这五个函数图象，它们有哪些性质？ x y O ①只有α =1时图象才是直线； ②图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限； ③图象一定经过 (1,1) 这个定点； ④第一象限内α由上到下递减. ⑤α ＞0时，图象在定义域内上升； ⑥α ＜0时，图象在第一象限下降； ⑦只有α ＞0时，图象才与坐标轴相交，且交点一定为原点； x y O y=x y=x2 y=x3 y=x-1 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 (1,1) 奇函数 增函数 R R 奇函数 增函数 R R 非奇非偶函数 增函数 [0,+∞) [0,+∞) 偶函数 R [0,+∞) (-∞,0]递减 [0,+∞)递增 奇函数 {x| x≠0} {y| y≠0} (-∞,0)递减 (0,+∞)递减 思考：你能总结幂函数的一般性质吗？ 幂函数的一般性质： (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数， 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； α<0时，幂函数的图象不过原点，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数. (1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)； 总结归纳 例3 证明幂函数 f(x)= 是增函数. 证明：函数的定义域是[0,+∞）. 且 有 因为 则 所以 即幂函数 是增函数. 练一练 1.利用幂函数的性质，比较(-1.2)3与(-1.1)3的大小. 解：由y = x3的定义域为R，且在R上单调递增. 因为-1.2＜-1.1， 所以，(-1.2)3＜(-1.1)3. α相同时，先判断函数的单调性，然后根据自变量的大小，比较函数值的大小 2.已知函数 y=f(x)的图象经过点(2, )，试判断此函数的奇偶性、单调性. 所以 因为函数的定义域(0,+∞),所以f(x)为非奇非偶函数； 解：设 f(x)= xα，则 ，解得 . x1，x2∈(0,+∞),且x1＜x2，则 因为 所以 即 所以f(x)在(0,+∞)为减函数. 根据今天所学，回答下列问题： (1)什么是幂函数？结合具体的幂函数，你能说说幂函数具有哪些性质吗？ (2)怎么比较幂函数的大小？ ... ...
