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课件网) 8.1.2 样本相关系数 1. 结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与“标准化”处理后的成对数据两分量向量夹角的关系； 2. 结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性. 散点图 变量相关关系 定性推断 思考：如何对成对样本数据的相关程度进行定量分析 成对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…,(xn，yn)， 其中 问题1：如何引入一个恰当的“数字特征”，对成对样本数据的相关程度进行定量分析？ 知识点一：样本相关系数 将数据以(，)为零点进行平移，得到平移后的成对数据为 并绘制散点图. 年龄/岁 脂肪含量/% 中心化 利用上述方法处理课本 表8.1-1数据： 由图得：散点大多分布在第一、三象限，大多数散点的横、纵坐标同号. 人体脂肪含量与年龄正相关. 决定 ？ 如果变量x，y正相关， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 如果变量x，y负相关， 那么关于均值平移后的大多数点将分布在第一、三象限，对应的成对数据同号居多； 那么关于均值平移后的大多数点将分布在第二、四象限，对应的成对数据异号居多. 根据散点图特征，初步构造统计量 利用散点 的横纵坐标是否同号,可以构造一个量 一般情况下， 表明成对样本数据正相关; 表明成对样本数据负相关; 思考：你认为Lxy的大小一定能度量出成对样本数据的相关程度吗？ 因为Lxy的大小与数据的度量单位有关，所以不能直接用它度量成对样本数据相关程度的大小. 在研究体重与身高之间的相关程度时，如果体重的单位不变，把身高单位 由米改为厘米，得： 但单位的改变并不会改变体重与身高之间的相关程度. 为了消除单位的影响，进一步做“标准化”处理 记为 我们称r为变量x和变量y的样本相关系数. 当r>0时，称成对样本数据正相关； 当r<0时，称成对样本数据负相关． 样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负和绝对值的大小可以反映成对样本数据的变化特征： 概念生成 问题3：样本相关系数r的大小与成对样本数据的相关程度有什么内在联系呢？ 标准化处理后的成对样本数据: 设其第一分量为 设其第二分量为 同理可得： 追问1：当|r|=1时，成对样本数据之间具有怎样的关系？ r = cos θ，当|r|=1时，θ=0或π，向量 与 共线. 即存在实数λ，使得 即成对样本数据(xi，yi)都落在直线 上. 此时成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系. 由此可见，样本相关系数r的取值范围为[-1，1]，样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度： 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强; 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 样本相关系数r有时也称样本线性相关系数，|r|刻画了样本点集中于某条直线的程度.当r=0时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系. 注意： 两个随机变量的相关性可以通过散点图对成对样本数据进行分析，而样本相关系数r可以反映两个随机变量之间的线性相关程度： r的符号反映相关关系的正负性，|r|的大小反映两个变量线性相关的程度，即散点集中于一条直线的程度． 例1 根据下表中脂肪含量和年龄的样本数据，画出散点图，判断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数判断年龄和脂肪的相关程度和变化趋势的异同？ 年龄 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 参考数据： 解：先画出散点图,如图所示： 观察散点图，可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断脂肪含量和年龄线性相关. 参考数据： 由样本相关系数r ≈ 0.97 ，可以推断脂肪含量和年龄 ... ...
