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课件网) 5.4.3 正切函数的性质与图象 5.4 三角函数的图象与性质 学习目标 能画出正切函数的图象； 了解正切函数的周期性、单调性、奇偶性、值域.借助图象理解正切函数在区间(-，)上的性质并能简单应用； 通过性质的运用，感悟逻辑推理、数学运算的核心素养. 一、情境引入 请同学们先自己阅读教材209-212页的内容，并思考以下问题： 问题一：正切函数是如何定义的？正切函数的定义域是什么？怎样作正切线 问题二：作函数图象时常用的方法有哪些？ 问题三：你能否根据正、余弦函数的图象和性质的关系，以同样的方法研究正切函数的性质和图象呢 二、探究新知 在所学基础上，我们可以从一个新的角度来研究正切函数. 1.周期性： 由周期函数的定义和诱导公式我们很容易得出： 成立， 所以正切函数是周期函数，并且最小正周期为π. 2.奇偶性： 由奇偶性的定义和诱导公式我们很容易得出： 成立， 所以正切函数是奇函数，它的图象关于原点对称. 对于正切函数的单调性、最值、值域等其它性质，我们怎么求解更简单呢 结合借助正弦线画正弦函数的方法，我们是不是可以借助正切线画正切函数的图象呢 3.正切函数的图象： 结合研究正、余弦函数的方法，我们可以进一步借助于正切函数的图象来研究它的性质，这样会更直观清晰. (1) 等分 (2) 作正切线 (3) 平移 (4) 连线 利用正切线画出函数，的图象： x y O 思考：在作正、余弦函数简图时我们借助于“五点作图法”，那么作正切函数简图我们能否有类似的方法呢 利用直线 和点 ()， ()，(). “三点两线法” x y O 由恰好为的一个周期，根据正切函数的周期性，只要把上述图象向左、右平移扩展，就可以得到正切函数的图象，我们把它叫做正切曲线.如下图： 由图象可以看出，正切曲线是被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的. 正切曲线与直线无限接近但不相交，这里称直线为正切曲线的渐近线. 4.单调性： 由正切函数图象我们可以清楚地得到正切函数在为增函数，又由图象和正切函数的周期性可得，正切函数在每个开区间上都是增函数. 5.值域： 由正切函数图象很明显可以看出，当x大于且无限接近时，正切曲线向x=无限接近但不相交；同时当x小于且无限接近时，正切曲线向x=无限接近但不相交.因此在内可以取任意实数，但没有最大值、最小值. 因此正切函数的值域是实数集R. 三、理解新知 1.正切函数在整个定义域内是不是增函数 不是，从图象上看正切函数在每一个开区间()，上是增函数，但在整个定义域上不是增函数. 2.正切函数会不会在某一区间内是减函数 不会. 3.在作正弦曲线时用“五点作图法”，在作正切曲线时用“三点两线法”. 四、运用新知 例1 求函数的定义域、周期和单调区间. 分析： ，由复合而成，求解可把看成一个整体，运用整体思想可解决定义域和单调区间问题；对于周期性的分析，上升到一般，就是 . 解：函数的自变量x应满足，即. 例1 求函数的定义域、周期和单调区间. 所以函数的定义域是 由于 ， 因此函数的周期为2. 由， 解得. 因此，函数的单调区间是. 变式训练1 求函数的定义域、周期和单调区间. 分析：此题和例1的区别就是变量的系数为负值，而在研究正切函数的性质时正切函数中变量的系数为正值，所以在求解之前应先变号.其余做法和例1相同. 解：由， 函数的自变量x应满足即 . 所以函数的定义域是 变式训练1 求函数的定义域、周期和单调区间. 由于 ， 因此函数的周期为. 由， 解得. 因此，函数的单调区间是. 例2 借助正切函数的图象和性质解答下列各题： (1)求使不等式成立的x的集合. (2)比较与的大小. 分析：对于(1)先变形为，结合图象及单调性和定义域很明显求出结果； 对于(2)先利用诱导公式进行变形，把角化到正 ... ...
