第三章 空间向量与立体几何 单元测试 2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册（含解析）

第三章空间向量与立体几何单元测试 学校:_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、单选题 1．设空间两个不同的单位向量、与向量的夹角都是，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在空间直角坐标系中，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．已知空间向量 则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 4．在正方体中，分别为的中点，则（ ） A．平面平面 B． C．平面平面 D． 5．已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（ ） A． B． C． D． 6．空间四边形中，（ ） A． B． C． D． 7．已知向量，则等于（ ） A． B． C．1 D．2 8．如图，在四面体中，，，，点在棱上，点在棱上，且，，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知正四棱柱的底面边长为，侧棱长为4，点满足，点在底面内，且，则（ ）． A．线段长度的最小值为1 B．直线和平面所成角的余弦值为 C．到直线的最小距离为 D．三棱锥的体积可能取值为10 10．在三棱锥A-BCD中， ，是直二面角，，如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A． B．平面的法向量与平面的法向量垂直 C．异面直线与所成的角为 D．直线与平面所成的角为 11．在正四棱柱中，，，M，N分别为棱，上的一点，则下列说法正确的是（ ） A． B．当M，N分别为棱，的中点时，直线与所成角的余弦值为 C．存在点M，使得为钝角 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 12．下列命题正确的是（ ） A．若是平面的一个法向量，是直线上不同的两点，则的充要条件是 B．已知三点不共线，对于空间中任意一点，若，则四点共面 C．已知，若与垂直，则 D．已知的顶点分别为，则边上的高的长为 三、填空题 13．已知，，其中，若，则的值为 ． 14．在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 15．已知、、，则向量与的夹角大小为 ． 16．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，则线段MN的最小值为 . 四、解答题 17．如图所示，在平行六面体中，是底面的中心，是侧面对角线上的分点． (1)化简，并在图中标出其结果． (2)设，试求，，的值． 18．如图，四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，过直线的平面与棱分别交于点． (1)证明：； (2)若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 19．化简：． 20．如图，在三棱柱中，平面，已知，点是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值; 21．如图所示，在三棱柱中，是中点，化简下列各式： （1）； （2）； （3）． 22．化简下列算式： (1)； (2)． 参考答案： 1．D 【分析】根据单位向量的模为1，结合向量的夹角公式，列式化简求值，即可得答案. 【详解】由题意可知、为单位向量，设 故，， 又它们与向量的夹角都是， 故， 即， 故选：D 2．A 【分析】按照空间直角坐标系得点坐标即可. 【详解】解：由空间直角坐标系的性质可知点为， 故选：A． 3．A 【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可. 【详解】由题意可知，，. 故选：A 4．D 【分析】建立空间直角坐标系，根据面面平行、线线平行、面面垂直、线线垂直等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系， A选项， ， 设平面的法向量为， 则，故可设， ，设平面的法向量为， 则，故可设， 由于，所以、不平行，也即平面与平面平面不平行，A选项错误. B选项，，所以与不平行， 也即与不平行，B选项错误. C选项，由于平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 平面的法向量为，，所以C选项错误. D选项，，所以， 所以，D选项正确. 故选：D 5．C 【分析】根据空间共面向量基本定理 ... ...