专题3.4 椭圆的简单几何性质-重难点题型检测 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）（上海市高二课时练习）离心率和椭圆形状的有关，据此判断椭圆和，则和哪个图形更为扁平（ ） A． B． C．相同 D．无法判断 【解题思路】分别计算出两个椭圆的离心率，然后比较，谁的离心率越大且越接近于1，谁就越扁. 【解答过程】在椭圆中，，，. 在椭圆中，，，. ， 椭圆的图形更为扁平一些. 故选：A. 2．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆与，则两个椭圆（ ） A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 【解题思路】根据椭圆的标准方程，可得以及离心率的值，即可求解. 【解答过程】将椭圆方程整理得， 其焦点在轴上，，，则，所以． 将椭圆方程整理得，其焦点在轴上，，， 则，所以， 故选:D． 3．（3分）（2022·四川·高二期中（文））与椭圆有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】求出椭圆的焦点坐标，求出所求椭圆的长半轴长，结合椭圆的焦点位置可得出所求椭圆的标准方程. 【解答过程】椭圆的标准方程为，该椭圆的焦点坐标为， 设所求椭圆的长半轴长为，则， 故所求椭圆的标准方程为. 故选：B. 4．（3分）（2022·上海·高二期末）下列关于曲线的结论正确的是（ ） A．曲线是椭圆 B．y的取值范围是 C．关于直线对称 D．曲线所围成的封闭图形面积大于6 【解题思路】根据椭圆的标准方程即可判断A；易得，即可判断B；举出反例即可判断C；求出曲线与坐标轴的四个交点所构成的四边形的面积，即可判断D. 【解答过程】解：因为曲线，不是椭圆方程， 所以曲线不是椭圆，故A正确； 因为曲线， 所以，所以，故B错误； 曲线与轴正半轴的交点坐标为， 若曲线关于直线对称， 则点也在曲线上， 又，所以点不在曲线上， 所以曲线不关于直线对称，故C错误； 对于D，曲线与坐标轴的交点坐标为， 则以四点为顶点的四边形的面积为， 所以曲线所围成的封闭图形面积大于6，故D正确. 故选：D. 5．（3分）（2022·全国·高三阶段练习（理））椭圆的左顶点为，点均在上，且关于原点对称.若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】设，再根据直线的斜率之积为列式，结合椭圆的方程化简即可. 【解答过程】设且，则. 又，故，故，所以. 故选：B. 6．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的右焦点，点在上，直线与轴交于点，点为C上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】由题可得椭圆，进而可得，利用向量数量积的坐标表示可得 ，再结合条件及二次函数的性质即求. 【解答过程】由题可得， ∴，即椭圆， ∴，直线方程为， ∴，又， 设，则，， ∴ ，又， ∴当时，有最小值为. 故选：C. 7．（3分）（2022·全国·高三专题练习（文））如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为，现太阳光与地面的夹角为，则此椭圆形影子的离心率为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】利用球的对称性，作出截面图，从而判断， 【解答过程】 如图， 是两条与球相切的直线，分别切于点A,C， 与底面交于点B,D， , 过C作 交于E,C,则， 在 中， ， ， , ， ，求出离心率. 那么椭圆中 ， , . 故选：B. 8．（3分）（2022·内蒙古赤峰·三模（文））椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，给出以下四个命题： ①过点的直线与椭圆交于两点，则△的周长为8； ②椭圆上存在点，使得； ③椭圆的离心率为； ④为椭圆一点，为圆上一点，则点的最大距离为3. 则以下选项正确的是（ ） A．①② B．①③ C．①②③④ D．①②④ 【解题思路】根据椭圆方程写出a、b、c及焦点坐标，由椭圆定义求焦点三角形的周长判断 ... ...
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