（人教A版2019选择性必修一）专题3-14 直线与抛物线的位置关系-重难点题型检测（原卷+解析卷）

专题3.14 直线与抛物线的位置关系-重难点题型检测 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）（2022·全国·模拟预测）已知为坐标原点，是抛物线的焦点，为抛物线上一点，且，则（ ） A． B． C． D． 【解题思路】不妨设点为第一象限内一点，将直线的方程与抛物线方程联立，求出点的坐标，然后利用抛物线的定义可求得. 【解答过程】不妨设点为第一象限内一点，则直线的斜率为，直线的方程为， 联立，解得，即点， 所以，. 故选：C. 2．（3分）（2022·全国·高三专题练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（ ） A． B．8 C．12 D． 【解题思路】由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点的弦长公式可得出答案. 【解答过程】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为， 代入抛物线方程得，可得， 根据抛物线的定义可知直线AB的长为． 故选：B． 3．（3分）（2021·全国·高二专题练习）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（　　）米． A． B． C． D． 【解题思路】通过建立直角坐标系，设出抛物线方程，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把B（x0，﹣3）代入抛物线方程求得x0进而得到答案． 【解答过程】如图建立直角坐标系， 设抛物线方程为x2＝my， 将A（2，﹣2）代入x2＝my， 得m＝﹣2 ∴x2＝﹣2y，B（x0，﹣3）代入方程得x0， 故水面宽为2m． 故选：B． 4．（3分）（2023·全国·高三专题练习）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（ ） A． B． C． D． 【解题思路】写出直线方程，联立抛物线方程，求出A，B两点坐标，进而求出AB的长，再求出原点到直线距离，求出三角形面积. 【解答过程】抛物线的焦点坐标为， 则斜率为的直线方程为：，与抛物线方程联立得： ， 设，不妨设，， 则， 点O到直线AB的距离为， 所以△AOB的面积为 故选：B. 5．（3分）（2022·全国·高二课时练习）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，其中抛物线中的阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随着点，位置的变化，前三种情况都有可能 【解题思路】设出直线的方程，联立抛物线，利用韦达定理得出，再设出切线方程利用判别式为0得出切线斜率关系即可判断. 【解答过程】 如图，设，，则，，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为，联立， 整理得，则，．易知切线的斜率肯定不为0， 设过点的切线方程为，联立， 整理得， 则，即， 设过点的切线方程为，同理可得， 则，得，， 则两条切线的斜率之积为，故是直角三角形． 故选：B． 6．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为（ ） A．32 B．16 C．24 D．8 【解题思路】由两条直线垂直，以及取得最小值时，有与，与关于轴对称，可得直线的斜率为1，进而可求出直线的方程，与抛物线联立写出韦达定理和弦长公式，再由相互垂直的四边形面积公式求值即可． 【解答过程】因为，要使最小，而， 由抛物线的对称性可得与，与关于轴对称，所以可得直线的斜率为1，又过抛物线的焦点， 所以直线的方程为：， ，整理可得，，， 所以可得， 所以． 故选：． 7．（3分）（2022·河南·模拟预测（理））已知抛物线的焦点为，过且不与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，为轴上一点 ... ...