专题3.11 抛物线的标准方程和性质-重难点题型精讲 1．抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫 作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 2．抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 3．抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 4．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是01，抛物线的离心率是 e=1； ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线. 5．与抛物线有关的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解. 【题型1 动点的轨迹问题】 【方法点拨】 根据抛物线的定义，抛物线是平面内与一个定点F，和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹， 因此只要动点满足抛物线的定义，就可以选择利用定义法求出其轨迹方程. 【例1】（2022·上海市高三开学考试）在平面上，到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹是（ ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 【解题思路】根据抛物线的定义判断即可. 【解答过程】解：因为点不在直线上， 则到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹是以为焦点， 直线为准线的抛物线； 故选：D. 【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 【解题思路】由抛物线的定义求解即可. 【解答过程】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点的轨迹是抛物线. 故选：C. 【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可. 【解答过程】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等， 由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，轨迹方程为， 故选：D. 【变式1-3】（2021·山东省滕州市高二阶段练习）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】将点到点的距离比它到直线的距离大1转化为点到点的距离等于它到直线的距离，根据抛物线的定义，即可求得点的轨迹为抛物线，进而可求出点的轨迹方程． 【解答过程】∵点到点的距离比它到直线的距离大1， ∴点到点的距离等于它到直线的距离， ∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程是. 故选：D. 【题型2 利用抛物线的定义解题】 【方法点拨】 根据具体问题，利用抛物线的定义进行转化求解. 【例2】（2022·云南·高二开学考试）若抛物线上的一点到它的焦点的距离为8，则（ ） A．6 B．8 C．12 D．16 【解题思路】根据题意，结合跑线的定义得到，即可求解. 【 ... ...
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