3.1.2 椭圆的简单几何性质 一、单选题 1．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（ ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是（ ） A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 3．椭圆焦距为（ ） A． B．8 C．4 D． 4．已知椭圆的离心率为，直线与圆相切，则实数m的值是（ ） A． B． C． D． 5．已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过点做倾斜角为的直线与椭圆相交与A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论正确的是（ ） A． B．椭圆的长轴长为 C．椭圆的短轴长为1 D．椭圆的离心率为 7．椭圆的离心率为，则的值为（ ）． A． B． C． D． 8．已知是椭圆：上一点，，为其左右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是( ) A．点纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 三、填空题 9．椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的_____倍． 10．已知椭圆C：的左，右焦点分别为，P为椭圆上一点，若为直角三角形，则的面积为_____. 11．已知椭圆， 焦点F1（-c，0）， F2（c，0）（c> 0），若过F1的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则椭圆的离心率是_____. 四、解答题 12．椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为 （1）求椭圆的方程 （2）斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，当时，求直线的方程 13．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦，直线y=kx（k>0）经过弦AB的中点M，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为，点P的坐标为（1，） （1）求椭圆C的方程； （2）求证：为定值. 14．设椭圆的中点是坐标原点，焦点在轴上，离心率，已知点到椭圆上一点的最远距离是，求椭圆的标准方程. 参考答案 1．A 【分析】 根据给定定义可得椭圆的短半轴长与半焦距相等，再对各选项逐一计算判断作答. 【详解】 由“对偶椭圆”定义得：短半轴长b与半焦距c相等的椭圆是“对偶椭圆”， 对于A，，即，A是“对偶椭圆”； 对于B，，即，B不是“对偶椭圆”； 对于C，，即，C不是“对偶椭圆”； 对于D，，即，D不是“对偶椭圆”. 故选：A 2．A 【分析】 根据条件，求得，进而可得椭圆的标准方程 【详解】 由题意，长轴，长轴三等分后， 故， 则该椭圆的标准方程是＋＝1 故选：. 3．A 【分析】 由题意椭圆的焦点在轴上，故，求解即可 【详解】 由题意，，故椭圆的焦点在轴上 故焦距 故选：A 4．B 【分析】 根据椭圆的离心率为，得，从而得到直线方程，再根据直线与圆的位置关系代数解法即可求出． 【详解】 由题意知，，则，∵直线，即，代入得，，由解得． 故选：B． 5．A 【分析】 设,过点的直线方程为,联立,根据，得到，再结合韦达定理，由求解. 【详解】 设,过点的直线方程为, 由,得, 由韦达定理得:,, 因为， 所以， 则，即， 解得， 因为， 所以， 故选：A 6．AB 【分析】 由题意，，结合，可得，根据椭圆的性质依次验证，即得解 【详解】 由题意， ，即 或 当时，不成立 故，A正确； 此时 故长轴长，B正确； 短轴长，C错误； 离心率，D错误 故选：AB 7．BD 【分析】 讨论焦点位置，进而利用离心率计算公式计算即得结论． 【详解】 ①，，则，则，即，解得， ②，，则，则，即，解得， 故选：BD． 8．BCD 【分析】 对于选项A：首先求出焦距，然后利用三角形面积即可求解；对于选项B：结合椭圆定义，利用余弦定理求解焦点三角形面积，根据已知条件即可求解；对于选项C：根据椭圆方程和定义即可求解 ... ...
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