2.2 超几何分布 学习目标 重点、难点 1．通过实例理解超几何分布及其特点；2．理解超几何分布的导出过程；3．能应用超几何分布解决实际问题. 重点：超几何分布的特点．难点：超几何分布的实际应用. 超几何分布 一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X ＝r)＝，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)，则称X服从超几何分布．记为X～H(n，M，N)，并将P(X＝r)＝记为H(r；n，M，N)． 预习交流 如何正确理解超几何分布？ 提示：设有N件产品，其中有M(M≤N)件次 品，从中任取n(n≤N)件产品，取出的产品中有r件次品的概率为P(X＝r)＝(其中r为非负整数)，此时随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布． 在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！ 我的学困点 我的学疑点 一、超几何分布的实例 某班共50名学生，其中35名男生，15名女生，随机从中抽取5名同学参加学生代表大会，所抽取的5名学生代表中，求女生人数X的分布列． 思路分析：由题意知女生人数X服从超几何分布H(5,15,50)． 利用超几何分布的概率公式求解． 解：从50名学生中随机抽取5人共有C种方法，没有女生的取法是CC，恰有1名女生的取法为CC，恰有2名女生的取法为CC，恰有3名女生的取法为CC，恰有4名女生的取法为CC，恰有5名女生的取法为CC. 因此，抽取5名学生代表中，女生人数X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 下列随机变量中，服从超几何分布的有_____． ①一批产品50箱，其中有2 箱不合格，从该批产品中任取5箱产品进行检测，其中不合格的产品箱数X.②一个盆子里有4个红球和3个黑球，从中任取一个球，然后放回，连续三次，记取到红球的个数为X. 答案：① 解析：①X服从超几何分布H(5,2,50)；②不服从超几何分布，因为它是有放回地抽样． 判断一个随机变量是否服从超几何分布，主要是根据定义，注意超几何分布是不放回的取样． 二、超几何分布的实际应用 从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试．试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率． 思路分析：由题目可知选出的女同学人数服从超几何分布H(3,4,10)，根据超几何分布概率公式直接求，也可用间接法求解． 解：设选出的女同学人数为X，则X的可能 取值为0,1,2,3，且X服从超几何分布H(3,4,10)，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝，或P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝. 一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽2件，求其中出现次品的概率． 解：设抽到次品的件数为X，则X服从 超几何分布H(2,5,50)．于是出现次品的概率为P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝＋＝，即出现次品的概率为. ①超几何分布是一种常见的随机变量的分布，利用它可解决一类超几何分布问题． ②在超几何分布中，只要知道参数N，M，n就可以根据公式求出X取不同值时的概率．从而列出分布列，再求符合题意的概率． 1．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取得次品的个数，则P(X＜2)＝_____. 答案： 解析：由题意知X可取0,1,2，服从超几何分布H(2,3,10)， 即P(X＜2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＋＝. 2．100张奖券中有4张有奖，从这100张奖券中任取2张，则2张都中奖的概率为_____． 答案： 解析：由题意知X可取0,1,2且服从超几何分布H(2,4,100)． 所以2张都中奖的概率为P(X＝2)＝＝. 3．把X，Y两种遗传基因冷冻保存， 若X有30个单位，Y有20个单位，且保存过程中有2个单位的基因失效，则X，Y两种基因各失效1个单位的概率是_____． 答案： 解析：由题意可设遗传基因X失效单位的个数为ξ ，则ξ服从超几何分布H(2,30,50)．则X，Y两种基因各失效1个单位的概率为P(ξ＝1)＝＝. 4．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台， ... ...
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