专题01 锐角三角函数 类型一、锐角三角函数值的求解策略 1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ） A．2 B． C． D． 类型二、特殊角的三角函数值的计算 2．求下列各式的值： （1）； （2）； （3） 类型三、锐角三角函数之间的关系 3．已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋＝0. (1)试判断△ABC的形状； (2)求(1＋sinA)2－2－(3＋tanC)0的值． 【教材知识必背】 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即． 同理；；． 【微点拨】 （1）正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． （2）sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、． （3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． （4）由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0． 考点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 【微点拨】 （1）通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． （2）仔细研究表中数值的规律会发现： 、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为： ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)； ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 考点三、锐角三角函数之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． （1）互余关系：，； （2）平方关系：； （3）倒数关系：或； （4）商数关系：． 【微点拨】 锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 【变式1】 4．在中，，若∠A=45°，则 ， ， ， ， ． 【变式2】 5．在中，，若，，则 ， ， ， ， ． 【变式3】 6．学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化． 类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）求sad60°的值； （2）对于0°＜A＜180°，求∠A的正对值sadA的取值范围． （3）已知sinα=，其中α为锐角，试求sadα的值． 一、选择题 7．如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是( ). A． B． C． D． 8．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ） A．2 B． C． D． 9．已知锐角α满足sin25°＝cosα，则α＝( ) A．25° B．55° C．65° D．75° 10．如图所示，直径为10的⊙ ... ...
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