专题03 空间向量求角度与距离10种题型归类 2024年高二数学寒假培优练人教A版（2019）学案（含解析）

专题03 空间向量求角度与距离10种题型归类 一、核心考点题型归纳 【题型一】异面直线所成的角 【题型二】直线与平面所成的角 【题型三】二面角的平面铰 【题型四】异面直线探索性点 【题型五】线面角探索性点 【题型六】二面角探索性点 【题型七】空间向量求点到面的距离 【题型八】翻折型：求异面直线所成的角 【题型九】翻折型：求直线与平面所成的角 【题型十】翻折型：二面角 二、期中期末好题培优练 知识点与技巧：一、向量角度： 二、角度公式： （1）、异面直线夹角（平移角，也是锐角和直角） （2）、直线与平面所成的角（射影角，也是夹角，）是平面法向量 （3）、二面角（法向量的方向角，） 判断正负方法： （1）观察法； （2）同进同出互补，一进一出相等； 三、向量计算点到距离公式（棱锥等的高） 【题型一】 异面直线所成的角 （2023秋·高二课时练习） 1．如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，P为上的点.且求： (1)λ的值； (2)异面直线PC与所成角的余弦值． （2023春·云南红河·高一校考阶段练习） 2．如图，在三棱锥中，侧面PAC⊥底面ABC，，△PAC是边长为2的正三角形，，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为l. (1)证明：直线l⊥平面PAC； (2)设点Q在直线l上，直线PQ与平面AEF所成的角为α，异面直线PQ与EF所成的角为θ，求当AQ为何值时， （2023·全国·高二专题练习） 3．如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小为120°，E为棱的中点． (1)证明：CD⊥AE； (2)点F在棱CC1上，平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值． 【题型二】直线与平面所成的角 知识点与技巧：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. （2023·广西柳州·统考模拟预测） 4．如图，三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，平面平面，分别是棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. （2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测） 5．如图，在四棱锥中，，，M是棱PD上靠近点P的三等分点． (1)证明：平面MAC； (2)画出平面PAB与平面PCD的交线l，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若平面平面ABCD，，，，求l与平面MAC所成角的正弦值． 【题型三】二面角的平面角 （2023秋·全国·高二期中） 6．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段AC，的中点，在平面ABC内的射影为D． (1)求证：平面BDE； (2)若点F为棱的中点，求点F到平面BDE的距离； (3)若点F为线段上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围． （2023·湖南·校联考模拟预测） 7．如图，四棱锥内，平面，四边形为正方形，，．过的直线交平面于正方形内的点，且满足平面平面. (1)当时，求点的轨迹长度； (2)当二面角的余弦值为时，求二面角的余弦值. 【题型四】异面直线探索性点 （2022秋·北京昌平·高二校考阶段练习） 8．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点. (1)求证平面； (2)试在线段上确定一点，使得与所成的角是. （2021秋·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考阶段练习） 9．如图，在三棱柱中，侧棱平面，，，，，点是AB的中点． (1)求直线到平面的距离． (2)在线段AB上找一点，使得与CP所成角为60°，求的值． （2022春·江苏南通·高二统考开学考试） 10．在四棱 ... ...