2023-2024学年高中数学湘教版（2019）必修第二册 第一章 平面向量及其应用 单元卷（含解析）

2023-2024学年高中数学湘教版（2019）必修第二册 第一章 平面向量及其应用 单元卷 一、单选题 1．设向量，若，则（ ） A． B． C． D． 2．在中，点D在边BC所在直线上，，若，则（ ） A．， B．， C．， D．， 3．已知正方形的边长为，在边上，则的最大值为（ ） A．1 B． C．2 D． 4．已知向量，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 5．已知的内角的对边分别是，面积满足，则（ ） A． B． C． D． 6．△ABC中，D为AB上一点且满足，若P为线段CD上一点，且满足（，为正实数），则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知向量，则与共线且反向的单位向量为 （ ） A． B． C．或 D． 8．如图，已知两个单位向量和向量，与的夹角为，且，与的夹角为，若，则（ ） A．-1 B． C． D．1 二、多选题 9．在直角梯形中，，为中点，分别为线段的两个三等分点，点为线段上任意一点，若，则的值可能是（ ） A．1 B． C．2 D． 10．如图，设，是平面内成角的两条数轴（即），以，为坐标轴建立平面坐标系，则称平面坐标系为斜坐标系，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量.若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，，则下列结论中错误的是（ ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 11．下列说法正确的是（ ） A．平行向量不是共线向量 B．若两个非零向量夹角为锐角，则 C．向量与共线的充要条件是存在唯一实数使得 D．向量在非零向量上投影向量的长度为 12．下列关于向量，，的说法正确的是（ ） A．的充要条件是存在不全为零的实数，使得 B．若且，则 C．若且，则 D． 三、填空题 13．在中，,，面积为，则 14．若有以下命题： ①两个相等向量的模相等； ②若和都是单位向量，则； ③相等的两个向量一定是共线向量； ④，，则； ⑤零向量是唯一没有方向的向量； ⑥两个非零向量的和可以是零． 其中正确的命题序号是 ． 15．在中，内角所对的边分别为，若，，，则 ． 16．已知向量，，若 ，则实数 ． 四、解答题 17．化简： (1)； (2)； (3). 18．化简： (1)； (2)． 19．如图所示，是内一点，且满足，设为延长线与的交点，求证： 20．如图所示，在中，P在线段BC上，满足，O是线段AP的中点． (1)过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，． ①求证为定值； ②设的面积为，的面积为，求的最小值． (2)若是边长为1的正三角形，且，……是线段BC的n等分点，，其中，n、，，求的值． 21．高新体育中心体育馆（图1）是成都大运会乒乓球项目比赛场馆，该体育馆屋顶近似为正六边形，屋底近似为正六边形． (1)如图2，已知该体育馆屋顶上有三点用电缆围成了三角形形状，测得，米，求该电缆的长度； (2)如图3，若在建造该体育馆时在馆底处的垂直方向上分别有号塔吊，若1号塔吊（点处）驾驶员观察2号塔吊（点处）驾驶员的仰角为号塔吊驾驶员观察3号塔吊（点处）驾驶员的仰角为，且1号塔吊高米，2号塔吊比1号塔吊高米，则3号塔吊高多少米 （塔吊高度以驾驶员所在高度为准）． 22．如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设，．（取） (1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移； (2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？ 数学参考答案 1．D 【分析】根据向量的数乘公式和模的公式代入即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以. 故选：D 2．B 【分析】根据向量运算的几何表示及平面向量基本定理求解. 【详解】 ，， ， 又，所以． 故选：B． 3．C 【分析】建立平面直角坐标系，得出，，的坐标，设出点坐标，利用坐标运算求解即可． ... ...