第六章 平面向量及其应用 章末复习课学案（含答案）

第六章　平面向量及其应用 章末复习课 一、向量的线性运算 1.向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题. 2.通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养. 例1　(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则2a－b等于(　　) A.(7，－2) B.(1，－2) C.(1，－3) D.(7,2) (2)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ 反思感悟　向量线性运算的基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面. 跟踪训练1　如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　) A. B. C. D.2 二、向量的数量积运算 1.平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等. 2.通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养. 例2　(1)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝_____. (2)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝_____. 反思感悟　(1)向量数量积的两种计算方法 ①当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ； ②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (2)利用向量数量积可以解决以下问题 ①设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b x1y2－x2y1＝0， a⊥b x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量)； ②求向量的夹角和模的问题 设a＝(x1，y1)，则|a|＝. 两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量) cos θ＝＝ . 跟踪训练2　已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为_____. 三、余弦定理、正弦定理 1.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积，以及余弦定理、正弦定理简单的综合应用. 2.借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算素养. 例3　在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A). (1)求角C； (2)若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度. 条件①：△ABC的面积S＝4且B>A； 条件②：cos B＝. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 反思感悟　(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行求解时，注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B A＝B；sin(A－B)＝0 A＝B；sin 2A＝sin 2B A＝B或A＋B＝等. (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，通过代数变换. 跟踪训练3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶，b＝. (1)求a的值； (2)求cos C的值； (3)求sin的值. 四、余弦、正弦定理在实际问题中的应用 1.余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验. 2.将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养. 例4　为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M ... ...