2024年集英苑冬季竞赛高中数学试题（含答案）

2024年集英苑冬季赛 数学 本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共3页，满分150分，考试时间140分钟． 选择题部分（共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（ ） A． B．0 C．1 D．2 2．平面向量,则（ ） A．3 B．5 C．7 D．11 3．已知实数x,y满足约束条件该约束条件在坐标平面上表示的区域如图所示，则y的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知等比数列满足,若,则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．设,集合．则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．某考试评定考生成绩时，采取赋分制度：只有原始分排名前3%的同学才能赋分97分及以上．若这些学生的原始分的最大值为a,最小值为b,令为满足的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分．已知小赵原始分96，赋分100；小叶原始分81，赋分97；小林原始分89，他的赋分是（ ） A．97 B．98 C．99 D．98或99 7．在中，角所对的边分别是．已知,则（ ） A． B． C．1 D． 8．随机事件A,B,C满足,则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 非选择题部分（共110分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9．函数的最小正周期是_____． 10．椭圆经过双曲线的焦点，则_____． 11．已知圆锥的高等于底面半径r，则圆锥与半径为r的球的表面积之比是_____． 12．若数列满足对任意,数列的前项至少有n项大于n,且，则称数列具有性质．若存在具有性质的数列,使得其前n项和恒成立，则整数的最小值是_____． 三、解答题：本大题共5小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．（本题满分15分）如图，已知三棱柱,平面．D,E分别是的中点． （Ⅰ）证明：平面; （Ⅱ）设与平面所成角的大小是,若,证明：． 14．（本题满分15分）设,函数． （Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）是否存在a,使得是上的单调递增函数，且是上的单调递增函数？若存在，试求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 15．（本题满分20分）设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A,若存在复平面上的一个圆，使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且中的数对应的点都在圆外，则称A是一个M的“可分离子集”． （Ⅰ）判断是否是的“可分离子集”，并说明理由； （Ⅱ）设复数z满足,其中分别表示z的实部和虚部．证明：是的“可分离子集”当且仅当． 16．（本题满分20分）已知A是抛物线上一点（异于原点），斜率为的直线与抛物线恰有一个公共点A（与x轴不平行）． （Ⅰ）当时，求点A的纵坐标； （Ⅱ）斜率为的直线与抛物线交于B,C两点，且是正三角形，求的取值范围． 17．（本题满分20分）春节将至，又是一年万家灯火的团圆之时．方方正正的小城里，住着户人家，恰好构成了坐标平面上集合的所有点．夜里，小城的人家挂上大红灯笼，交相辉映，将小城的夜晚编织成发光的大网．在坐标平面上看，A中的每个点均独立地以概率p被点亮，或以的概率保持暗灭．若A中两个点的距离为1，则这两个点被称为是相邻的．若A中的n个被点亮的点构成一依次相邻的点列,则称这n个点组成的集合是长度为n的“相邻灯笼串”．规定空集是长度为0的“相邻灯笼串”． （Ⅰ）给定A中3个依次相邻的点,记随机变量X为集合包含的“相邻灯笼串”的长度的最大值，试直接写出随机变量X的分布列（用p表示）； （Ⅱ）若,证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率小于0.01； （Ⅲ）若,证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率大于0.99． 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，共40分． 1．D 2．B 3．A 4．C 5．C 6．D 7．C 8．D 二、填空题：本 ... ...