3.3幂函数 第三课（学案+练习）（含解析）

3.3幂函数 【第三课】 扩展1: 与幂函数有关的复合函数问题 例1.（2023上·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数定义域得到不等式，结合求出，检验后得到答案. 【详解】因为幂函数的定义域为R，故， 解得， 又，所以， 检验，时，，即，满足题意． 故选：C 【方法总结】与幂函数有关的复合函数问题，注意弄清内层函数与外层函数，内层函数的值域是外层函数的定义域. 【举一反三1-1】（2023上·江苏南京·高一金陵中学校考期中） 1．已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1-2】（2023上·上海·高三上海中学校考期中） 2．设函数，则点不可能在函数（ ）的图像上． A． B． C． D． 扩展2:与幂函数有关的函数性质的综合应用 例2.（2023上·福建厦门·高一校考期中）（多选题）下列关于幂函数的描述中，正确的是（ ） A．幂函数的图象都经过点和． B．幂函数的图象不经过第四象限． C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数． D．幂函数的图象过点，则 【答案】BC 【分析】根据幂函数的图像性质分别判断每个选项即可. 【详解】对于A，当时，幂函数在处无定义，故图象不会经过点，选项A错误； 对于B，当时，幂函数都有意义，且，故幂函数的图象不经过第四象限，选项B正确； 对于C，当时，，在R上单调递增；当时，，在R上单调递增；当时，，定义域为且在上单调递增，选项C正确； 对于D，幂函数的图象过点，即，所以，即，所以，选项D错误； 故选：BC. 【方法总结】解决幂函数的综合问题，应注意以下两点： （1）充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等； （2）注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想. 【举一反三2-1】（2023上·山东青岛·高一统考期中）（多选题） 3．已知函数，则（ ） A．的图象过点 B．的图象关于y轴对称 C．在上单调递增 D． 【举一反三2-2】（2023上·陕西汉中·高一校联考期中）（多选题） 4．已知函数的图象经过点，则（ ） A．的图象经过点 B．为奇函数 C．在定义域上单调递减 D．在内的值域为 扩展3: 对勾函数 例3.（2023上·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考阶段练习）因函数的图像形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数，若对勾函数对于任意的，都有，则实数t的最大值为_____. 【答案】/0.75 【分析】由，移项后代入，构造新的关系式，对分类讨论，转化为恒成立问题即可解决. 【详解】因为，则， 所以，即 当，即时，因为，不合题意； 当即时，恒成立，所以. 所以实数的最大值为. 故答案为： 【方法总结】对勾函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，. 【举一反三3-1】（2023上·广东东莞·高一校联考期中） 5．因函数的图象形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数，若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为 . 【举一反三3-2】（2023上·江西吉安·高一江西省新干中学校考期中）（多选题） 6．形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ） A．4 B．12 C． D． 【举一反三3-3】（2023上·重庆渝中·高一重庆复旦中学校考期中） 7．因函数的图象形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”，该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数． (1)若函数，，求的最值； (2)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (3)对于（2）中的函数和函数，若对任意， ... ...