【第一课】5.4.3正切函数的性质与图象 【课标要求】 1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质. 2.能利用正切函数的图象与性质解决有关问题. 【明确任务】 1.会画正切函数的图象【直观想象】 2.能利用正切函数的图象与性质解决有关问题.【直观想象，数学运算】 正弦、余弦函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] 周期性 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 [2kπ－，2kπ＋](k∈Z)为增； [2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)为减 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)为减； [2kπ－π，2kπ](k∈Z)为增 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (kπ＋，0) (k∈Z) 对称轴 x＝kπ＋ (k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 核心知识点1: 正切函数的图象 1．8等分法作正切曲线 如图①，设，在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点．过点作轴的垂线，垂足为；过点作轴的垂线与角的终边交于点，则． 由此可见，当时，线段的长度就是相应角的正切值。 如图②，将单位圆右半圆弧8等分，以为始边的角．同时将轴上的区间8等分，将角对应的正切线向右平移，使它的起点与轴上表示数的点重合，再把这些正切线的终点用光滑的曲线连接起来，就得到正切函数在上的图象，最后根据正切函数的周期性，把所得到的图象向左、右平移的整数倍个单位长度，就得到函数的图象，如图③，我们把它叫做正切曲线． 理解 图① 图② 图③ 解读：对正切曲线的进一步认识： （1）正切曲线是由被与轴平行的一系列直线所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的； （2）正切曲线与直线向上、向下无限接近，但始终不相交，即直线是正切曲线的渐近线； （3）任意一条垂直于轴的直线若与正切曲线相交，两个相邻交点间的距离都是（即一个最小周期长）； （4）在轴上方的图象是下凸的，在轴下方的图象是上凸的． 2．三点两线法 先画出直线，然后根据三个特殊点，，及对正切函数图象的认识画出函数在内的大致图象． 例1.作出函数，的简图． 【解析】（1）列表： 0 0 1 1 2 3 （2）画，两条虚线，描点． （3）用光滑曲线连接，如图5.4.3-1所示． 归纳总结:正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支曲线组成，y＝tan x的对称中心为，k∈Z. 【举一反三】 1．画出f(x)＝tan|x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性. 核心知识点2：正切函数的性质 1．定义域与值域 正切函数的定义域，值域是． 2．周期性 根据诱导公式，，，可知，正切函数的周期是（，），最小正周期． 3．奇偶性 根据诱导公式，，且，可知，正切函数是奇函数． 4．单调性 根据正切曲线的变化规律可以得出，正切函数在上单调递增．又根据周期性，可得在每一个区间，上都单调递增． 5．对称性 正切函数的图象没有对称轴，关于点，中心对称． 辨析 解读： 只能说正切函数在定义域内的每个连续区间上都是单调递增的，不可以说正切函数在定义域内室增函数，例如，已知，，，，但，，． 正切函数图象的对称中心是正切曲线与轴的交点以及正切曲线的渐近线与轴的交点，与正弦、余弦函数图象对称中心有区别，正弦、余弦、正切曲线两个相邻对称中心之间的距离都等于最小正周期的一半． 例2.（2023下·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．函数是奇函数 B．函数的最小正周期是 C．函数在上单调递增 D．函数图象的对称中心是 【答案】ACD 【分析】对于A，利用函数奇偶性的定义判断，对于B，利用周期公式判断，对于C，利用正切函数的性质分析判断，对于D，由分析判断. 【详解】对于A，的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数，所以A正确， 对于B，的最小正周期为，所以B错误， 对于C，由，得，因为在上单调递增， 所以在上单调递增，所以 ... ...
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