2.2.1 直线的点斜式方程【第三课】 扩展1 直线的“截距”问题 直线在y轴上的截距并不是距离，而是直线与y轴交点的纵坐标，它是一个数值，可正可负，可为零. 当截距为非负数时，它等于交点到坐标原点的距离，当截距为负数时，它等于交点到坐标原点距离的相反数. 例1（2023·福建三明高二期中）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ） A．y=-x+5 B．y=x+5 C．y= D．y=- 【答案】AC 【分析】分两种情况求解，过原点时和不过原点时，结合所过点的坐标可求. 【解析】当直线过坐标原点时，直线过点，所以直线方程为y=; 当直线不过坐标原点时，，代入点，即y=-x+5. 故选:AC. 【方法总结】 “截距”概念的理解要点 （1）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况． （2）截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. （3）由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． 【举一反三1-1】（2023·贵州遵义高二期中） 1．直线：与：在同一平面直角坐标系内的位置可能是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1-2】（2023·福建龙岩高二期末） 2．关于直线，下列说法正确的是（ ） A．直线在轴上的截距为4 B．当时，直线的倾斜角为0 C．当时，直线不经过第二象限 D．当时，直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8 【举一反三1-3】（2023·河北保定高二期中） 3．一条光线从点射出，与y轴相交于点且被轴反射，则反射光线所在直线在x轴上的截距为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1-4】（2023下·潍坊·阶段练习） 4．直线l的斜率为方程的根，且在y轴上的截距为5，则直线l的方程为 . 【举一反三1-5】（2023·江西赣州高二期末） 5．已知直线的方程为，的方程为，直线l与平行且与在y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为 . 【举一反三1-6】（2023·四川泸州高二期末） 6．直线过点，在轴上的截距取值范围是，其斜率取值范围是 ． 【举一反三1-7】（2023·四川南充高二期中） 7．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是 ． 【举一反三1-8】（2023·山东枣庄滕州高二期末） 8．已知直线过定点（1，4）,求当直线在第一象限与坐标轴围成的三角形面积最小时,此直线的方程. 扩展2 直线过“定点”问题 直线的定点问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力，求直线过定点的两个基本思路：（1）将方程化为点斜式，求得定点的坐标；（2）将方程变形，把x，y看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即得直线过的定点坐标． 例2（2023·福建福州三中高二月考）直线kx﹣y+1﹣3k＝0，当k变动时，所有直线都通过定点（ ） A．（3，1） B．（0，1） C．（0，0） D．（2，1） 【答案】A 【分析】直线方程转化为：（x﹣3）k﹣y+1＝0，然后令，解方程即可求解． 【解析】解：直线方程转化为：（x﹣3）k﹣y+1＝0， 令，解得x＝3，y＝1， 所以直线过定点（3，1）， 故选：A． 【方法总结】直线的定点问题的基本方法 方法一：参数赋值法，给直线中的参数赋两个值，得到两个方程，再解方程组得到方程组的解，即是直线过的定点，最后要把点的坐标代入直线的方程证明，发现直线的方程恒成立. 方法二：分离参数法，把直线的方程分离参数得到，所以，解之得定点的坐标. 【举一反三2-1】（2023·江西宜春高二期中） 9．直线恒过一定点，则此点是（ ） A． B． C． D． 【举一反三2-2】（2023·河南南阳高二期末） 10．若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点 ； 【举一反三2-3】（2023·重庆内江高二期末） 11．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则面积的最 ... ...
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