第3课时 矩形的性质与判定的综合应用 ●归纳导入 分小组归纳平行四边形、菱形和矩形的性质定理和判定定理．它们都有一些特殊的性质，每一种图形都有对应的线段相等、对应的角相等．线段和角之间的关系不是孤立的，它们可以相互转化．因此，我们要学会灵活地运用这些知识，利用它们不断的化未知为已知，进而解决相应的问题．下面我们就来试一试． 【教学与建议】教学：从知识的作用入手，让学生感受到所给特殊图形中隐含的条件．建议：结合具体问题教学生去思考、分析问题． ●复习导入 (1)矩形的定义： (2)矩形的性质：①对边平行且相等；②四个角都是直角；③对角线互相平分且相等；④既是轴对称图形，又是中心对称图形． 推理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． (3)矩形的判定方法： 学习数学除了要记住这些概念和定理，更重要的是能灵活地运用它们解决实际问题． 【教学与建议】教学：通过对矩形定义、性质和判定的复习，让学生对知识及其生成的过程进行回忆、巩固．建议：给学生一定时间思考相关定理的生成过程． 命题角度1 利用矩形的性质进行相关的计算和证明 由矩形的性质得到相等的线段或角． 【例1】如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. (1)求证：四边形BFDE是矩形； (2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，即DF∥BE， 又∵DF＝BE，∴四边形BFDE为平行四边形． 又∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形； (2)∵四边形BFDE是矩形，∴∠BFC＝90°. ∵CF＝3，BF＝4，∴BC＝＝5. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5， ∴AD＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DFA. 又∵DC∥AB，∴∠DFA＝∠FAB， ∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB. 命题角度2 矩形中的折叠问题 矩形中折叠问题的本质：(1)折叠前后两部分是全等的；(2)利用轴对称的性质；(3)找出隐含的折叠前后的位置关系和数量关系． 【例2】(1)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF.若AB＝4，BC＝8，则D′F的长为(C) A．2 B．4 C．3 D．2 (2)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E.若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积是__10__． 命题角度3 矩形中最值问题 通常利用矩形的轴对称性作对称点，将不同线段转化到同一直线或同一三角形中． 【例3】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，则PC＋PD的最小值为__4__． 高效课堂 教学设计 1．运用矩形的性质进行相关计算和证明． 2．运用矩形的判定定理解决相关数学问题． ▲重点 矩形的性质及判定的运用． ▲难点 综合运用矩形的性质及判定定理． ◆活动1 创设情境 导入新课(课件) (出示课件) 问题1：矩形的性质及判定有哪些？ 问题2：如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是__90°__． 问题3：在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB＝__60°__，若OA＝3 cm，则CD＝__3__cm__． ◆活动2 实践探究 交流新知 (多媒体出示)如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE.求AE的长． 展示问题： 问题1：矩形有几个性质？ 问题2：矩形的对角线__相等__． 问题3：AE，AD在Rt△AED中，且AD＝6，可以找__∠ADB__＝30°. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO＝DO＝__BD__(矩形的对角线相等且互相平分)， ∠BAD＝90°(矩形的四个角都是__直角__). ∵ED＝3BE，∴BE＝__OE__． 又∵AE⊥BD，∴AB＝__AO__，∴__AB__＝__AO__＝__BO__， 即△ABO是__等边__三角形，∴∠__ABO__＝60°， ∴∠ADB＝90°－__∠ABO__＝90°－60°＝30°. 在Rt△AED中，∵∠ADE ... ...
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