13.1.2 线段的垂直平分线的性质 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 ●归纳导入 通过几何画板课件的演示，探索线段垂直平分线的性质． 探究(一)演示课件：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上运动，测量PA，PB的长度，你能发现什么规律？__PA＝PB__． PA PB 1.90 cm 1.90 cm 1.48 cm 1.48 cm 1.75 cm 1.75 cm 1.57 cm 1.57 cm 1.80 cm 1.80 cm 0.75 cm 0.75 cm 0.50 cm 0.50 cm 探究(二)证明结论：利用几何画板中的图形证明所得结论．__线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等__． 【教学与建议】教学：利用几何画板的测量功能能表明PA＝PB，但需要证明．建议：学生独立观察教师演示的课件，很容易归纳结论．证明过程中可以指定学生板演证明过程，其余同学在练习本上完成． ●类比导入 1.前面我们学习了角的平分线的性质和判定，具体内容是什么？ 2．我们学习了线段的垂直平分线，既然“角的平分线”与“线段的垂直平分线”都是“平分线”，那么它们之间有哪些相似之处呢？ 3．你能证明你发现的结论是正确的吗？ 【教学与建议】教学：利用角的平分线与线段的垂直平分线的相似之处猜想结论．建议：启发学生画图观察，仿照角的平分线从定义、性质和判定三个角度思考，类比角的平分线定义可以得出倍半关系，类比角的平分线性质与判定分别得到线段的垂直平分线的性质与判定． 命题角度1 利用线段垂直平分线的性质进行有关的计算与证明 (1)利用线段垂直平分线的性质解决问题，一般需要连接直线上某一点与线段两端点的线段(常用的添加辅助线的方法)，从而由性质可以直接得到相等的两条线段．(2)把未知的线段通过线段的垂直平分线的性质转化为已知的线段． 【例1】如图，在△ABC中，AC＝12，BC＝8，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是__20__． 【例2】如图，已知CD垂直平分AB，若AC＝4 cm，AD＝5 cm，则四边形ADBC的周长是__18__cm. 【例3】如图，AB＝CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E.求证：∠ABE＝∠CDE. 证明：如图，连接AE，CE. ∵线段AC的垂直平分线与BD的垂直平分线相交于点E. ∴AE＝CE，BE＝DE.在△ABE和△CDE中， ∴△ABE≌△CDE(SSS). ∴∠ABE＝∠CDE. 命题角度2 线段垂直平分线的判定 一点与一条线段的两个端点距离相等，可判定该点在这条线段的垂直平分线上． 【例4】如图，△ABC中，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点，使得PA＋PC＝AB.下列描述正确的是(D) A.P是∠ACB的平分线与AB的交点 B．P是以点B为圆心，AC长为半径的弧与边AB的交点 C．P是AC的垂直平分线与AB的交点 D．P是BC的垂直平分线与AB的交点 【例5】如图，AB＝AC，MB＝MC.求证：直线AM是线段BC的垂直平分线． 证明：∵AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上． ∵MB＝MC，∴点M在线段BC的垂直平分线上． ∴直线AM是线段BC的垂直平分线． 命题角度3 综合运用线段的垂直平分线的性质和判定 (1)利用线段垂直平分线的性质可证明两线段相等；(2)利用线段垂直平分线的判定可证明垂直关系和线段相等关系． 【例6】如图，已知AB＝AC，DB＝DC，P是AD上的一点．求证：∠ABP＝∠ACP. 证明：连接BC.∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上． ∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上． ∴直线AD是线段BC的垂直平分线． ∵点P在直线AD上，∴PB＝PC. 在△ABP和△ACP中 ∴△ABP≌△ACP(SSS). ∴∠ABP＝∠ACP. 高效课堂 教学设计 1．掌握线段垂直平分线的概念． 2．理解线段垂直平分线的性质和判定定理． 3．运用线段垂直平分线的性质和判定定理解决几何问题． ▲重点 掌握线段垂直平分线的性质和判定，并学会运用． ▲难点 运用线段垂直平分线的性质和判定定理解决几何问题． ◆活动1 新课导入 1．经过线段 ... ...
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