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课件网) 第十七章 一元二次方程 17.3 一元二次方程根的判别式 一、学习目标 1.能熟练运用根的判别式判断一元二次方程根的情况 2.会根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围 二、新课导入 1.解一元二次方程的方法有哪些？ 直接开方法、配方法、公式法、因式分解法 2.写出公式法中的求根公式. 复习导入 想一想： 根据求根公式 可不可以快速写出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根？ 三、概念剖析 可以，当b2-4ac<0时，求根公式不存在，即方程无根 当b2-4ac≥0时， 特别地，b2-4ac=0时，计算发现： 三、概念剖析 b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即Δ= b2-4ac. 一元二次方程根的情况： 当Δ>0时，方程有两个不相等实数根； 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ<0时，方程没有实数根. 例1.不解方程判断方程根的情况： (1)2x2+4x+4=x-3 (2)x2-kx-1=0 解：(1)化成一般式：2x2+3x+7=0 a=2，b=3,c=7 ∴△=b2-4ac=32-4×2×7=-47<0 ∴方程无实数根 提示：先写出判别式△，再根据△的正负写出结论 四、典型例题 (2)a=1，b=-k,c=-1 ∴△=b2-4ac=(-k)2-4×1×(-1)=k2+4>0 ∴方程有两个不相等的实数根 例1.(3)x2-(2+m)x+2m-1=0 (3)a=1，b=-(2+m),c=2m-1 ∴△=b2-4ac=[-(2+m)]2-4×1×(2m-1)=m2-4m+8 m2-4m+8=m2-4m+4+4=(m-2)2+4 根据平方的性质可知：(m-2)2≥0 ∴(m-2)2+4>0,即△>0 ∴方程有两个不相等的实数根 怎么判断大小 四、典型例题 含有字母系数时，配方后判断 求解方程根的情况的步骤： ①把方程先转化成一般形式,确定a,b,c的值； ②再计算出Δ的值； ③最后确定方程根的情况. 四、典型例题 【当堂检测】 1.下列对一元二次方程x2-x-3=0根的情况的判断，正确的是（ ） A.有两个不相等实数根 B.有两个相等实数根 C.有且只有一个实数根 D.没有实数根 A 2.关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0. (1)求证：方程恒有实数根； 证：a=1,b=-(k+3),c=2k+2 ∴△=b2-4ac=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2) =k2-2k+1 =(k-1)2≥0 ∴方程总有实数根. 【当堂检测】 2.关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0. (2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围. 解：因式分解，得[x-(k+1)](x-2)=0 有x-(k+1)=0或x-2=0 解得x1=k+1,x2=2 根据题意有k+1<1 解得k<0 【当堂检测】 例2.关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x+3=0有两个不等实根，求m的最大整数值. 解：a＝m-1，b＝-2，c＝3 △=b2-4ac=(-2)2－4×(m-1)×3＝16-12m 依题有：△>0,即16-12m>0 解得m< 因为该方程是一元二次方程，则m-1≠0 解得m≠1 综上所述：m的取值范围是：m< 且m≠1 故m的最大整数值是0 注意：不要忽略一元二次方程二次项系数不为0 四、典型例题 【当堂检测】 3.关于x的方程x2- x-1=0有两不等实数根，则k的取值范围是( ) A.k>0 B.k≥0 C.k>1 D.k≥1 注意：题目有个隐藏条件：k-1≥0 D 【当堂检测】 4.关于x的一元二次方程(k-1)x2-4x+2=0有实数根，求k的取值范围. 解：a＝k-1，b＝-4，c＝2 △=b2-4ac=(-4)2－4×(k-1)×2＝24-8k 依题有：△≥0,即24-8k≥0 解得k≤3 因为该方程是一元二次方程，则k-1≠0 解得k≠1 综上所述：k的取值范围是：k≤3且k≠1 五、课堂总结 1.一元二次方程中当Δ>0时，方程有两个不相等实数根； 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ<0时，方程没有实数根. 2.在解题过程中要注意题目中的隐藏条件，比如一元二次方程ax2+bx+c=0中a≠0，二次根式中被开方数大于等于0. ... ...
