第19章 矩形、菱形与正方形 19.2 菱形 第1课时 菱形的性质 教学目标 1.通过折叠纸张的办法，探索菱形独特的性质和识别方法. 2.通过学生间的交流讨论、分析、类比、归纳，运用已学过的知识总结菱形的性质和简单的识别方法. 3.培养学生的识图能力、逻辑思维能力. 教学重难点 重点：菱形的性质及应用. 难点：菱形的性质及应用. 教学过程 新课导入 1.矩形具有哪些性质？ 【活动安排】教师抽取学生回答问题后，通过数形结合加以展示. 2.请你叙述平行四边形的对称性和矩形的对称性，是中心对称图形，指出对称中心；是轴对称图形，请指出对称轴. 合作探究 1.探究菱形的定义： 【做一做】将一张矩形的纸片对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你能发现这是一个什么样的图形吗？ 【思考】请同学们根据动手折叠和剪纸的过程，寻找图形的特点. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 【注意】菱形是平行四边形的特殊形式，特殊在边方面. 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴□ABCD是菱形.（菱形的定义） 2.探究菱形的性质： 【活动安排】教师引导学生类比平行四边形的性质，结合图形，通过实践归纳出菱形在边、角、对角线方面所具有的性质，从中得出菱形所特有的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直且平分；菱形既是中心对称图形又是轴对称图形. 【验证】 已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD,对角线AC与BD相交于点O. 求证:（1）AB＝BC＝CD＝AD； （2）AC⊥BD. 证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB ＝ CD，AD＝ BC（菱形的对边相等）. 又∵ AB＝AD，∴ AB＝BC＝CD＝AD. （2）∵ AB＝AD，∴ △ABD是等腰三角形. 又∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ OB＝OD（菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中， ∵ OB＝OD，∴ AO⊥BD，即AC⊥BD. 菱形除了具有一般平行四边形所具有的一切性质之外，还具有菱形特有的性质，分别是： 1.菱形既是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，又是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线； 2.菱形的四条边都相等； 3.菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角. 利用数形结合体会菱形的性质：（注意给学生板书几何语言表达形式） 例题讲解 例1 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试求出∠B的度数，并说明△ABC是等边三角形. 解：（1）在菱形ABCD中， ∠BAD+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）. 又∵ ∠BAD＝2∠B,∴ ∠B＝60°. （2）连结AC（图略）， ∵ 在菱形ABCD中, AB＝BC（菱形的四条边都相等）, ∴ 在△ABC中，∠BAC＝∠BCA（等边对等角）. 又∵ ∠B+∠BAC+∠BCA＝180°, ∠B＝60°， ∴ ∠BAC＝∠BCA ＝60°, ∴ AB＝BC＝AC（等角对等边）, 即△ABC是等边三角形. 例2 如图，已知菱形ABCD的边长为2 cm，∠BAD＝120°，对角线AC，BD相交于点O .试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长.（结果保留根号） 解：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ OB＝OD，AB＝AD (菱形的四条边都相等). 在△ABO和△ADO中， ∵ AB＝AD，AO＝AO，OB＝OD， ∴ △ABO≌△ADO， ∴ ∠BAO＝∠DAO∠BAD＝60°. 在△ABC中，∵ AB＝BC，∠BAC＝60°， ∴ △ABC为等边三角形， ∴ AC＝AB＝2. 在菱形ABCD中，∵ AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， ∴ △AOB为直角三角形， ∴ BO＝. ∴ BD＝2BO＝ . 例3 如图，已知菱形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD，求菱形各角的度数和∠EAF的度数. 分析：利用AE⊥BC，AF⊥CD 及E，F分别为BC，CD的中点，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则可以求出△ABC，△ADF是等边三角形，从而求出菱形ABCD的各角度数；要求∠EAF的度数，则利用四边形AECF的内角和等于360°和∠AEC＝∠AFC＝90°即可. 解：∵ AE⊥BC，AF⊥CD，E，F分 ... ...
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