第18章 勾股定理 18.1勾股定理 第2课时 勾股定理的证明及应用 教学目标 1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在教学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯. 2.通过对勾股定理的探索，在探索实践中理解并掌握勾股定理并且会运用勾股定理. 教学重难点 重点：会验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题. 难点：经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想. 教学过程 导入新课 教师提出问题： 1.勾股定理的内容是什么？（学生回答） 2.上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形进行探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？ 教师：事实上，现在已经有数百种勾股定理的验证方法，这节课我们就来验证一下勾股定理. 设计意图：回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度，介绍世界上一些验证方法，激发学生的学习兴趣. 探究新知 预习新知 让学生自主预习课本第53页. 提出问题：如下图，分别以直角三角形的三条边为边向外作正方形，你能利用这幅图说明勾股定理的正确性吗？ 先让学生独立作图、验证，并让学生发表自己的见解，再小组讨论勾股定理是否正确. 设计意图：通过让学生自己动手作图、验证，不仅能锻炼学生的动手能力，还能加深对勾股定理的理解. 合作探究 探究一 验证勾股定理 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b. 求证：. 证明:取4个与Rt△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图1所示的正方形. 图1 图2 问题1 四边形是正方形吗？ 学生：四边形是正方形. ∵ =c, ∠H=∠E，∴∠E+∠H=90°，∴ ∠=90°. 同理∠=∠=∠=90°, ∴ 四边形是正方形. 问题2 你可以利用两种方法来表示图1中的大正方形的面积吗？ 学生先独立思考，再小组交流得到答案和2ab+ 问题3 你可以得到怎样的等式？从而能得到什么？ 学生： = 2ab+，化简后得到. 从而利用图1验证了勾股定理，此方法称为毕达哥拉斯法. 教师：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，利用整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理. 你还能利用图2验证勾股定理吗？ 问题4 图2中小正方形的边长是多少？ 问题5 你可以利用两种方法来表示图2中的大正方形的面积吗？ 问题6 你可以得到怎样的等式？从而能得到什么？ 提出几个问题让学生根据问题独立探究，再小组交流，最后请一位同学上台讲解利用图2验证勾股定理. 图2中小正方形边长是b－a.和都可以表示图2中小正方形的面积，根据同一图形面积相等得到，化简后得到. 从而利用图2也验证了勾股定理，图2我们又称为赵爽弦图. 设计意图：教师层层设问引导学生来完成勾股定理的验证，通过两个图形让学生体会数形结合的思想并体会成功的快乐，学生先拼图从形上感知，再利用面积验证，比较容易掌握本节课的重点内容. 探究二 非直角三角形的三边是否满足 前面已经讨论了直角三角形的三边长满足的关系，那么锐角三角形和钝角三角形是否也满足这一关系呢？ 观察下图，利用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足. 【教师活动】引导学生数出图形中每个正方形所占的格子数，验证是否满足. 【学生活动】根据网格特点数出每个正方形的面积，小组交流，得出结论. 【结论】如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边长a，b，c不满足，通过这个结论，学生将对直角三角形的三边关系有进一步认识. 跟踪训练 根据下图，利用面积法证明勾股定理. 【教师活动】提示学生从不同的角度计算图形的面积. 【学生活动】先小组交流图形面积的计算，再写出证明过程. 证明：∵ S梯形ABCD = S△ABE +S△BCE +S△EDA， 又∵ S梯形ABCD = (a+b)2，S△BCE = S△EDA = ab，S△ABE ... ...
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