第19章 四边形 19.2 平行四边形 第4课时 利用边的关系判定平行四边形 教学目标 1.使学生理解并能够证明平行四边形的判定定理，即一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 2.掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 3.让学生能够应用平行四边形的定义和平行四边形的前两个判定定理判定四边形为平行四边形. 教学重难点 重点: 运用平行四边形的判定方法判定有关的平行四边形. 难点：对平行四边形判定方法的探究. 教学过程 复习巩固 平行四边形的定义是什么？ 答：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形还有哪些性质？ 答：（1）平行四边形的两组对边分别平行; （2）平行四边形的对边相等； （3）平行四边形的对角相等，相邻两角互补； （4）平行四边形的对角线互相平分. 新课导入 为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了，你能说出其中的道理吗？ 前两节课我们学行四边形的定义和性质，从这节课开始我们来探究平行四边形的判定方法. 探究新知 探究一 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 活动 将线段AB按图中所给的方向和距离,平移成线段A′B′，顺次连接点A, B, B′, A′,构成一个一组对边平行且相等的四边形AB B′A′，你能说出它一定是平行四边形吗 为什么 【教师活动】在平移过程中，对应线段有哪些性质？对应点的连线有哪些性质？ 【学生活动】测量、思考、交流结论. 【结论】平移过程中对应线段平行且相等；对应点的连线平行（活在同一条直线上）且相等. 【探究证明】 已知:如图,在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 探究：要证明四边形ABCD是平行四边形,可转化为证明两组对边分别相等,从而作辅助线,用全等三角形来证明相应的边相等. 证明:如图，连接AC. ∵ AB∥CD, ∴ ∠1＝∠2. ∵ AB＝CD,AC＝CA, ∴ △ABC≌△CDA(SAS). ∴ ∠ACB＝∠CAD. ∴ AD∥CB. ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 【总结】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 符号语言：∵ AB綊DC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 探究二 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 活动 如图,过点A画两条线段AB，AD,以点B为圆心，以AD为半径画弧,再以点D为圆心、AB长为半径画弧,两弧相交于点C，连接BC，DC.这样画出的四边形ABCD的两组对边分别相等,它是平行四边形吗 为什么？ 【探究证明】 已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD,BC＝AD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：（方法一）如图，连接AC. 在△ABC和△CDA中， ∵ AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA， ∴ △ABC≌△CDA， ∴ ∠ACB＝∠CAD，∠DAC＝∠BCA， ∴ AB∥CD , AD∥CB， ∴ 四边形ABCD是平行四边形（定义）. （方法二）如图，连接AC. 在△ABC和△CDA中， ∵ AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA， ∴ △ABC≌△CDA， ∴ ∠CAB＝∠ACD， ∴ AB∥CD . ∵ AB＝CD, ∴ 四边形ABCD是平行四边形（判定定理1）. 【总结】 定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 符号语言：∵ AB＝DC,AD＝BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 例题讲解 【例1】如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由. 【教师活动】首先根据条件证明△AFD≌△CEB， 可得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，可证出AD∥CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论. 【学生活动】独立完成解答过程，小组内交流纠正. 【解】四边形ABCD是平行四边形.证明如下： ∵ DF∥BE，∴ ∠AFD＝∠CEB. 又∵ AF＝CE，DF＝BE，∴ △AFD≌△CEB(SAS)， ∴ AD＝CB，∠DAF＝ ∠BCE， ∴ AD∥CB， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 跟踪训练 1.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点. 求证：四边形EB ... ...
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