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课件网) §4.3 协方差与相关系数 协方差 协方差的计算公式 称 为 X ,Y 的协方差。 定义 记为 : 协方差的性质 概率论与数理统计 例 (X,Y)的联合分布律为: X -1 0 1 Y -1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 求X与Y的协方差,并判断X, Y是否独立。 解 =0 由对称性得:E(Y)=0 概率论与数理统计 =0 另一方面 P(X=﹣1,Y=﹣1)=1/8 所以,X与Y不独立. ≠ =P(X=﹣1)P(Y=﹣1) (3/8)×(3/8) 概率论与数理统计 例 设随机变量X和Y的联合概率密度为 求： 解: 概率论与数理统计 例 已知 求： 解: 概率论与数理统计 概率论与数理统计 定义 设 为二维随机向量， 称 为随机变量 和 的相关系数. 与相关系数 相关系数的性质 线性关系 概率论与数理统计 相关系数的意义 相关系数是描述了X与Y线性相关程度 概率论与数理统计 X,Y不相关(弱) X,Y相互独立(强) (没有线性关系） (没有任何关系） 可能会有别的关系，如二次关系。 例 设Y=X2 ,有 X,Y不相关. 但是,X与Y不独立. 概率论与数理统计 设(X, Y)服从二维正态分布, 则X, Y相互独立的充要条件是 =0. 知X与Y不相关与X和Y相互独立是等价的. 概率论与数理统计 矩、协方差矩阵 定义: 设X和Y是随机变量, (1) 若E(Xk), k=1, 2, …存在, 则称它为X的k阶原点矩. (2) 若E{[X-E(X)]k}, k=1, 2, …存在,则称它为X的k阶中心矩. (3) 若E{Xk Yl}, k, l=1, 2, …存在, 则称它为X和Y的k+l阶混合矩. (4) 若E{[X-E(X)]k [Y-E(Y)]l}, k, l=1, 2,…存在, 则称它为X和Y的k+l阶中心混合矩. 显然, E(X),E(Y)为一阶原点矩, D(X),D(Y)为二阶中心矩. 概率论与数理统计 概率论与数理统计 n元正态分布的几条重要性质 2.n维正态变量(X1,X2, …,Xn)的每一个分量Xi都是正态随机变量；反之，若每个分量Xi都是正态随机变量，且它们相互独立，则(X1,X2, …,Xn)是n维正态变量。 a1X1+ a2 X2+ …+ an Xn 均服从正态分布. 对一切不全为0的实数a1,a2,…,an ， 1. X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布 概率论与数理统计 若 X=(X1, X2 , … , Xn) 服从 n 元正态分布， Y1,Y2, …，Yk是Xj（j=1,2,…,n）的线性函数， 则 (Y1,Y2, …，Yk) 也服从多元正态分布. 3. 正态变量的线性变换不变性. 4. 设(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布，则 “X1,X2, …,Xn两两不相关” “X1,X2, …,Xn相互独立” 概率论与数理统计
