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课件网) §4.1 数学期望 引例 某企业生产某种产品，质检员每天对产品进行检查，以下是五月份产品的检验结果，求这个月的平均次品数。 概率论与数理统计 平均次品数 0件次品出现的天数 总的天数 （0件次品）发生的频率 （0件次品）发生的概率 近似于 概率论与数理统计 加权平均，数学期望的概念源于此。 设 表示每天出现的次品数 概率论与数理统计 离散型随机变量的数学期望 设 X 为离散型随机变量，其分布律为： 若无穷级数 数学期望，记作 E( X ), 即 绝对收敛, 则称其为X的 例 已知随机变量X的分布律如下。求E(X). X 2 3 4 9 p 1/8 5/8 1/8 1/8 解 概率论与数理统计 例 已知随机变量 。求E(X). 解 概率论与数理统计 概率论与数理统计 到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率 1/6 3/6 2/6 一旅客8:20到车站, 求他候车时间的数学期望. 例 按规定, 某车站每天8:00~9:00和 9:00~10:00 都恰有一辆客车到站, 但到站时刻是随机的, 且 两者到站的时间相互独立。 其规律为： 概率论与数理统计 X 10 30 50 70 90 到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率 1/6 3/6 2/6 解：设旅客的候车时间为X（以分计），其分布律为 概率论与数理统计 例 一种常见的赌博游戏,其规则为:投掷一颗均匀的骰子，赌客猜精确的骰子点数,凡猜中者以1比5得到奖金,否则其押金归庄家所有,问此规则对庄家还是赌客更有利 解：不妨设一赌徒押了10元, X为赌徒最终输赢数， 显然结果对庄家更有利！ 赌徒最终平均输赢为 即分布律为 概率论与数理统计 连续型随机变量的数学期望 （或均值），记为E(X)。即 的值为随机变量X的数学期望 定义:设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分 绝对收敛, 则称积分 例 设X～U(a,b),求E(X)。 解 X的概率密度为： X的数学期望为： 概率论与数理统计 例 设随机变量X服从参数为λ的指数分布,求E(X). 解 X的概率密度为 所以, E(X)= 概率论与数理统计 例 X ~ N ( , 2 ), 求 E ( X ) . 奇函数 解 令 = 概率论与数理统计 例 设随机变X 的概率密度为 求E(X ). 解 概率论与数理统计 随机变量函数的数学期望 设已知随机变量X的分布, 如何计算X的某个函数 g(X)的期望？ 一种方法是，求出 g(X) 的分布，然后按照期望的定义把 E[g(X)] 计算出来. 使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布,一般是比较复杂的 . (1) 当X为离散型时,它的分布律为P(X= xk)=pk, 定理: 设Y是随机变量X的函数: Y=g(X) (g是连续函数) 概率论与数理统计 (2) 当X为连续型时,它的密度函数为 f(x), 若 概率论与数理统计 例 设随机变量 的分布律为 求 解 概率论与数理统计 概率论与数理统计 例 设随机变量X的概率密度函数 求：（1）常数 ；（2） 解 （1）由概率密度函数的性质有 概率论与数理统计 （2） 概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计 X 1 3 P 3/4 1/4 X 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 Y 0 1 2 3 解: 例 （X,Y）的分布列为 概率论与数理统计 Y 0 1 2 3 P 1/8 3/8 3/8 1/8 概率论与数理统计 例 设随机变量(X,Y)的概率密度为： 概率论与数理统计 概率论与数理统计 X=1 X=1 概率论与数理统计 数学期望的性质及应用 推广： （1）设C是常数，则 . （2）设 为一随机变量，C为常数，则有 （3）设 为两个随机变量，则有 相互独立时 推广： 概率论与数理统计 （4）若 为两个相互独立的随机变量，则有 现就连续型证下面两条： 设二维随机变量(X,Y)的概率密度、边缘概率密度分别为 由随机变量函数的期望得: 概率论与数理统计 概率论与数理统计 由 相互独立得: 解 例 且X, Y, Z相互独立, 求随机变量W 2X+3Y 4Z 1 的数学期望. 设随机变量X ~ N 0,1 , Y ~U 0,1 , Z~B 5,0.5 , 概率论与数理统 ... ...
