3.1.2 椭圆的简单几何性质【第二课】 题型一 由椭圆的几何性质求标准方程 例1. 已知以坐标轴为对称轴的椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点，求椭圆的标准方程． 【分析】由于椭圆的焦点在哪条坐标轴上未知，所以可分情况讨论或设为（，，）的形式求解． 【解析】方法一：若椭圆的焦点在x轴上，则设椭圆方程为（，）．由题意得解得所以椭圆的标准方程为． 若椭圆的焦点在y轴上，则设椭圆方程为． 由题意得解得 所以椭圆的标准方程为． 综上所述，椭圆的标准方程为或． 方法二：设椭圆方程为（，，）， 则由题意得或解得或 所以椭圆的标准方程为或． 【方法技巧与总结】（1）利用椭圆的几何性质求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法． （2）在求解，时常用方程思想，通常由已知条件与关系式，等构造方程（组）加以求解． 【变式训练1-1】（2024·陕西渭南·高二期末） 1．已知椭圆的长轴端点为，，短轴端点为，，焦距为，若为等边三角形，则椭圆的方程为（ ）． A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2024·山东济南三中·高二期末） 2．已知椭圆的焦点在轴，焦距为，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（2024·浙江宁波效实中学·高二期末） 3．已知中心在原点，焦点在轴上，焦距为8的椭圆被直线：截得的弦的中点的横坐标为，则此椭圆的方程为（ ） A． B． C． D． 题型二 求椭圆的离心率及其取值范围、最值 例2. 已知，是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点．若是等边三角形，求该椭圆的离心率． 【分析】由题设出点A，B的坐标，根据是等边三角形得出a，b，c的关系，从而求出离心率． 【解析】根据椭圆的对称性，不妨设椭圆的方程为（）， 左、右焦点分别为，． 依题意设点A坐标为，则点B坐标为，所以． 由是等边三角形得，即． 又因为，所以， 两边同时除以，得， 即，解得或（舍），则该椭圆的离心率为． 【方法技巧与总结】求椭圆离心率的方法： （1）直接求出a和c，再利用求解；也可利用求解． （2）若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程或不等式，进而求解． 【变式训练2-1】（2024·广西北海高二期末） 4．是椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，点到原点的距离为焦距的一半，且，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（2024·吉林实验中学·高二统考期末） 5．椭圆的焦点为，，上顶点为A，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】（2024·江苏南通·高二统考期末） 6．设椭圆：的上顶点为，左 右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于点，若，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】（2024·湖南益阳·高二统考期末） 7．设椭圆的两焦点为，，若在椭圆上存在一点P，使，求椭圆的离心率e的取值范围. 题型三 直线与椭圆位置关系的判断 例3．已知直线，椭圆C：，试问当m取何值时，直线l与椭圆C： （1）有两个公共点； （2）有且只有一个公共点； （3）没有公共点． 【思路分析】直线方程与椭圆方程均已知，因其位置关系可以联立方程组，通过判别式求解． 【解】联立直线方程与椭圆方程，得 消去y，得，① 其判别式． （1）当，即时，方程①有两个不同的解，因而直线l与椭圆C有两个公共点． （2）当，即时，方程①有两个相同的解，因而直线l与椭圆C有且只有一个公共点． （3）当，即或时，方程①无解，因而直线l与椭圆C没有公共点． 【方法总结】直线与椭圆的位置关系 （1）有关直线与椭圆的位置关系问题通常有两类：一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的值或取值范围.两类问题在解决方法 ... ...
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