中小学教育资源及组卷应用平台 易错专题04 二次函数 含参求最值问题 此类题目主要考察在给定范围内二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键。 易错点是条件中含参数，需要进行分类讨论。 1．（2022 慈溪市一模）当1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣2ax+3的最小值为﹣1，则a的值为（ ） A．2 B．±2 C．2或 D．2或 【分析】将二次函数化成顶点式，再求最值． 【解答】解：y＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2． 抛物线开口向上，对称轴为直线x＝a． ∴当a≤1时，若1≤x≤3时，y随x的增大而增大， 当x＝1时，y有最小值＝1﹣2a+3＝4﹣2a， ∴4﹣2a＝﹣1， ∴a＝， 不合题意，舍去． 当1＜a≤3时，x＝a，y有最小值3﹣a2． ∴3﹣a2＝﹣1． ∴a2＝4， ∵1≤a≤3， ∴a＝2． 当a≥3时，若1≤x≤3，y随x的增大而减小． ∴当x＝3时，y有最小值＝9﹣6a+3＝12﹣6a． ∴12﹣6a＝﹣1． ∴a＝． ∵a≥3． ∴不合题意，舍去． 综上：a＝2． 故选A． 2．（2022秋 和平区校级期末）已知二次函数y＝x2﹣2x+2在m≤x≤m+1时有最小值m，则整数m的值是（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．±1或2 【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，从而可得函数最小值及对称轴，分两种情况讨论得到关于m的方程解方程即可求解． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，函数最小值为1， 当m+1＜1，即m＜0时，x＝m+1时y取最小值， ∴m＝（m+1﹣1）2+1，即m2﹣m+1＝0（无解）， 当m≥1时，x＝m时y取最小值， ∵m＝（m﹣1）2+1， 解得m＝1或2， ∴整数m的值为1或2， 故选：C． 3．（2022 贺州）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y＝15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案． 【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3， ∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，﹣3）， ∴当y＝﹣3时，x＝1， 当y＝15时，2（x﹣1）2﹣3＝15， 解得x＝4或x＝﹣2， ∵当0≤x≤a时，y的最大值为15， ∴a＝4， 故选：D． 1．（2020 宝应县三模）已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，则该二次函数的最小值是（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【分析】先将二次函数写成顶点式，得出对称轴及开口方向，根据抛物线开口向上时离对称轴越远函数值越大，可知当x＝﹣1时，y＝7，从而可解得m的值；再根据抛物线的顶点式可得其最小值． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m ＝（x﹣2）2+m﹣4， ∴对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上， ∵二次函数在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7， 当x＝﹣1时，y＝7， ∴7＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m， 解得：m＝2， ∴当x＝2时，该二次函数有最小值，最小值为0+2﹣4＝﹣2． 故选：A． 2．（2022秋 桥西区校级期末）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（ ） A．5 B．﹣5或 C．5或 D．﹣5或 【分析】先求出对称轴为x＝﹣1，分m＞0，m＜0两种情况讨论解答即可求得m的值． 【解答】解：二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ①m＞0，抛物线开口向上， x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣4， 解得：m＝5； ②m＜0，抛物线开口向下， ∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4， ∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣4， 解得：m＝﹣； 故选：C． 3．（2021秋 林甸县期末）若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是（ ） A．﹣4或 B．﹣2或 C．﹣4 或2 D．﹣2或2 【分析】表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论． 【解答】解：∵y＝﹣x2+mx， ∴抛物线开口向下 ... ...
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