2024年中考数学一轮复习———一元二次方程的应用 一、数字问题 例1．有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求这个两位数． 解：设原来个位为x，则十位上的数字为8﹣x， 由题意得，[10×（8﹣x）+x][10x+8﹣x]＝1855 解得：x1＝3，x2＝5， 原来十位上的数字为5或3， 答：原来这个两位数53或35． 二、传播问题 例2．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝49， 解得：x1＝6，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了6个人． 三、单循环问题 例3．某校九年级班级之间进行篮球循环赛，班与班之间都要进行1场比赛，循环赛打完共进行了15场比赛，该校九年级共有多少个班？ 解：设该校九年级共有x个班， 根据题意得：x（x﹣1）＝15， 整理得：x2﹣x﹣30＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不符合题意，舍去）． 答：该校九年级共有6个班． 四、双循环问题 例4．一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？ 7．解：设有x队参加比赛． 依题意，得x（x﹣1）＝90， （x﹣10）（x+9）＝0， 解得x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）． 答：共有10支队参加比赛． 五、增长率问题 例5．新能源汽车越来越多地进入普通家庭，调查显示，截止2023年中旬某市新能源汽车拥有量为18.9万辆，已知2021年中旬该市新能源汽车拥有量约为2.1万辆，求2021年中旬至2023年中旬该市新能源汽车拥有量的平均增长率． 解：设2021年中旬至2023年中旬该市新能源汽车拥有量的平均增长率为x， 根据题意得：2.1（1+x）2＝18.9， 解得：x1＝2＝200%，x2＝﹣4（不符合题意，舍去）． 答：2021年中旬至2023年中旬该市新能源汽车拥有量的平均增长率为200%． 六、商品销售问题 例6．某商场购进一批新产品进行销售，已知该产品的进货单价为40元/件，该商场对这批新产品上市后的销售情况进行了跟踪调查．销售过程中发现，该产品每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系满足如表． 销售单价x（元/件） … 51 52 53 54 … 每月销售量y（件） … 98 96 94 92 … （1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数三个模型中确定哪种函数能比较恰当地表示y与x的变化规律，并求出y与x之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，该产品每星期获得的利润为1600元？ （3）当销售单价为多少元时，该产品每星期获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 解：（1）由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系， 设y＝kx+b（k≠0）， 则， 解得， 即y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+200； （2）设总利润为w元，由题意得， w＝y（x﹣40）＝（﹣2x+200）（x﹣40） ＝﹣2x2+280x﹣8000， 当w＝1600时，﹣2x2+280x﹣8000＝1600， 解得，x1＝60，x2＝80， 答：当销售单价为60元或80元时，每星期获得的利润为1600元； （3）∵w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800， ∴x＝70时，w取得最大值，此时w为1800元， 答：当销售单价为70元时，每星期获得的利润最大，最大利润为1800元． 七、图形面积问题 例7．某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡 ... ...
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