专题2.3 一元二次方程的应用- 2023-2024学年八年级下册数学同步课堂 培优题库（浙教版）（原卷+解析卷）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题2.3 一元二次方程的应用 模块1：学习目标 1. 能运用一元二次方程解决有关变化率问题； 2. 能运用一元二次方程解决有关传播、分裂、握手、比赛等问题； 3. 能运用一元二次方程解决有关销售利润问题； 4. 能运用一元二次方程解决有关几何图形（面积）、几何动点等问题； 5. 正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型。 模块2：知识梳理 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x；③依据等量关系式和未知数x建立方程；④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 2.一元二次方程应用题常见类型： 1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题。 3. 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础 1.增长率问题：a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 2.降低率问题：a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量. 总结：有关增长率和降低率的有关数量关系 4.传播问题实例探索 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 5. 碰面问题（循环问题） （1）不重叠类型（单循环）： n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m；则m= （2）重叠类型（双循环）： n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m；则m= 模块3：核心考点与典例 考点1. 面积问题 例1．（2023·浙江杭州市·八年级模拟）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在用长为的材料砌墙，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为，则长度为（ ） A．15 B．10 C．10或15 D．12.5 【答案】A 【分析】根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50米，AB=x米，则BC=（50-2x）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可． 【详解】解：设AB=x米，则BC=（50-2x）米．根据题意可得，x（50-2x）=300， 解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50-10-10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙MN最长可利用25m，舍掉不符合题意的数据． 变式1．（2023·山西吕梁市·九年级二模）2020年12月25日，太原市地铁2号线一期线路正式投入载客初期运营，历时四年9个月的建设后，太原人终于能乘坐自己的地铁了．在2号线轨道铺设作业中，为了提前完成铺轨任务，采用了新型轮胎式铺轨机和全自动混凝土布料机，使得每天铺设轨道的长度比原计划多120米，原计划300天的铺轨任务，仅用了120天就全部完成． （1）求原计划每天铺设轨道多少米？（2）图2所示是太原地铁内关于“五台山”和“平遥古城”的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米？ 图1 图2 【答案】（1）80米；（2）0.2米 【分析】（1）设原计划每天铺设轨道x米，根据等量关系，列出一元一次方程，即可求解； （2）设镶上的木质框架的宽为y米．根据“镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的”列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：（1）设原计划每天铺设轨道x米． 根据题意，得300x=120（x+120）． 解得x=80． 答：原计划每 ... ...