集英苑冬季赛数学试卷（PDF版无答案）

绝密★启用前 2024年集英苑冬季赛 数 学 姓名 准考证号 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共3页，满分150分，考试时间140分钟。 选择题部分（共40分)》 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.log 4 A.-1 B.0 c.1 D.2 2.平面向量4=(1,1)，b=(2,3),则1a+b1= A.3 B.5 C.7 D.11 x≥-1， 3.已知实数x,y满足约束条件{y≥2x, 该约束条件在坐标平面上表示的区域如图所示，则y的 y≤x+1, 取值范围是 A.[-2,2] B.[-1,1] C.[-2,1] D.[-1,2] (第3题图) 4.已知等比数列{an}满足a1=a2a>1,若an=1,则n= A.2 B.3 C.4 D.5 5.设a,b∈R,集合A={a,a2+1},B={b,b2+1}.则“A=B”是“a=b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.某考试评定考生成绩时，采取赋分制度：只有原始分排名前3%的同学才能赋分97分及以上.若 这些学生的原始分的最大值为a,最小值为b,令f(x)为满足f代a)=100,f(b)=97的一次函 数.对于原始分为x(b≤x≤a)的学生，将(x)的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始 分96，赋分100；小叶原始分81，赋分97；小林原始分89，他的赋分是 A.97 B.98 C.99 D.98或99 数学试题第1页（共3页）】 7.在△ABC中，角A,B.C所对的边分别是a6,6已知C=否，。2-=acosA,则m4 A.2-3 B号 C.1 D.√2 8.随机事件A,B,C满足P(AIB)+P(BIC)+P(C1A)=1,则P(A)+P(B)+P(C)的取值范围是 A[1,号1 B.o,号1 c(o,别 D.(0,2) 非选择题部分（共110分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 9.函数y=sinx的最小正周期是 10.椭圆号+y2=1经过双曲线2-y=a2(a>0)的焦点，则a= 11.已知圆锥A0的高等于底面半径r,则圆锥A0与半径为r的球的表面积之比是 12.若数列{a.}满足对任意n∈N”,数列{a.}的前n2项至少有n项大于n,且a.≥0，则称数列 {a.}具有性质M.若存在具有性质M的数列{a.},使得其前n项和S。≤An恒成立，则整数入 的最小值是 三、解答题：本大题共5小题，共0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 13.(本题满分15分)如图，已知三棱柱ABC一A,B,C,, AC1⊥平面AB,C,,AB⊥BC.D,E分别是BC1, 11 AC,的中点. (I)证明：DE∥平面AB,C1; (Ⅱ)设AC,与平面ABB,A所成角的大小是， 若AD⊥BC1,证明：∠BAC=a. (第13题图) 14.(本题满分15分)设aeR,函数f(x)=(x+a)lnx,g(x)=xln(x+a). (I)当a=0时，求函数f(x)的单调区间； (Ⅱ)是否存在a,使得f(x)是(0，+)上的单调递增函数，且g(x)是(-a,+∞)上的单调递 增函数？若存在，试求出a的取值范围：若不存在，请说明理由. 数学试题第2页（共3页）