2.5从力的做功到向量的数量积 同步练习 2023——2024学年北师大版（2019）高中数学必修第二册（含解析）

2.5从力的做功到向量的数量积同步练习 学校:_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、单选题 1．平面向量，则（ ） A．3 B．5 C．7 D．11 2．已知向量，向量，向量，若与共线，，则（ ） A． B． C． D． 3．若单位向量，的夹角为，则与的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4．若O是所在平面内的一点，且满足，则的形状为（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 5．如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A．10 B．13 C．18 D．26 6．已知非零向量，满足，设甲：，乙：，则（ ） A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分条件但不是必要条件 C．甲是乙的必要条件但不是充分条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7．已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 8．已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图是一个正六边形，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．在上的投影向量为 10．已知，则（ ） A．若，则存在唯一的实数p，q，使得 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 11．已知向量，，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为6 D．若，则 12．下列说法正确的是（ ） A．向量在向量上的投影向量可表示为 B．若，则与的夹角的范围是 C．若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为 D．若，则 三、填空题 13．已知向量，，若与所成的角为锐角，则实数的取值范围为 . 14．已知非零向量满足，.若为在上的投影向量，则向量夹角的余弦值为 15．在中，令，，若，，，，则的边上的中线长为 ． 16．在中，，为边的中点，为的中点．相交于点.则中线的长为 .的余弦值为 ． 四、解答题 17．已知向量是同一平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若是单位向量，且，求与的夹角. 18．如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点. (1)求的余弦值. (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由. 19．个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个维向量，若，，称为维信号向量.设，，则和的内积定义为，且. (1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量； (2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量； (3)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：. 20．已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P．记． (1)用表示向量； (2)若，且，求的余弦值． 21．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标. (1)设，，求的值； (2)若，求的大小. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 参考答案： 1．B 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示及模的坐标表示即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 2．C 【分析】根据向量共线以及垂直的坐标表示，列出关于的方程组，求解即可. 【详解】因为与共线，所以，解得. 又，所以，解得，所以，所以. 故选：C. 3．D 【分析】求出与的数量积以及模长，根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】由题意知单位向量，的夹角为，则， 故， ， ， 故， 故选：D 4．D 【分析】根据平面向量的线性运算可以得出，进而得到，由此可判断出的形状. 【详解】∵，， ∴，两边平方，化简得∴. ∴为直角三角形. 因为不一定等于，所以不一定为等腰直角三角形. 故选：D. 5．B 【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可 ... ...