北京市第十三中学2023-2024学年高二上学期期中测试数学试题（含答案）

北京市第十三中学2023~2024学年第一学期 高二数学期中测试 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第2页；第Ⅱ卷第2页至第4页，答题纸第1页至第3页.共150分，考试时间120分钟.请在答题纸上侧密封线内书写班级 姓名 准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸交回. 第I卷（选择题 共40分） 一 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.） 1.直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2.已知向量，则的位置关系是（ ） A.垂直 B.平行 C.异面 D.不确定 3.已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 4.圆与圆的位置关系为（ ） A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 5.已知直线.若，则实数的值是（ ） A.0 B.2或-1 C.0或-3 D.-3 6.已知点是圆上一点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 7.已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数等于（ ） A.2 B. C.2或-2 D.或 8.如图，在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（ ） A. B. C. D.1 9.已知方程，对于该方程所表示的曲线给出下列结论，结论正确的是（ ） A.曲线仅有两条对称轴 B.曲线经过5个整点 C.曲线上任意一点到原点距离不小于 D.曲线围成的封闭图形面积不超过2 10.已知两点，若直线上至少存在三个点，使得是直角三角形，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二 填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.） 11.已知，则线段的中点坐标是_____. 12.经过点且与直线垂直的直线方程为_____. 13.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_____. 14.在空间直角坐标系中，已知点，则直线与所成角的大小是_____. 15.已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为_____. 16.已知点，点在圆上，则的取值范围是_____；若与圆相切，则_____. 17.已知四棱锥的高为和均是边长为的等边三角形，给出下列四个结论： ①四棱锥可能为正四棱锥； ②空间中一定存在到五个点距离都相等的点； ③可能有平面平面； ④四棱锥的体积的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是_____. 三 解答题：（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18.如图，在直三棱柱中，分别为的中点 （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 19.已知圆过原点和点，圆心在轴上. （1）求圆的方程； （2）直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 20.如图，四边形为梯形，，讦边形为平行四边形. （1）求证：平面； （2）若平面，，求： （i）直线与平面所成角的正弦值； （ii）点到平面的距离. 21.如图，在长方体中，分别是棱的中点. （1）请判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值：若不存在，说明理由. 22.已知圆为过点且斜率为的直线. （1）若与圆相切，求直线的方程； （2）若与圆相交于不同的两点，是否存在常数，使得向量与共线？若存在，求的值：若不存在，请说明理由. 北京市第十三中学2023~2024学年第一学期 高二年级数学期中测试答案 一 选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B C C C C D B 二 填空题（共7小题，每小题5分，共35分） 11. 12. 13. 14. 15. 16.； 17.①②④ 三 解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 18.（1）连接，因为分别为的中点，所以 在三棱柱中，.所以四点共面. 因为分别为的中点，所以. 所以四边形为平行四边形.所以.因为平面平面，所以平面. （2）由题设平面，所以.因为， 所以两两垂直.如图建立空间直角坐标系. 所以. .平面的一个法向量是 设平面的法 ... ...