5.1.1数列的概念（2） 数列的通项公式记作????????=????(????),那么它与函数????=????(????)有什么关系呢？ ? 这节课我们就一起来研究一下 数列与函数的关系 了解数列是一种特殊的函数，并能说出两者的共性和区别；（重点） 能利用数列与函数的关系进行相关问题的求解.（难点） 探究点1：数列与函数的关系 思考1：已知函数????????=?12????+52， 令????=1,2,3,?,????,?写出对应的函数值，你能得到什么？ ? 可得到数列 2，32，1，…，?12n+52，….， ⑥ ? 追问1：写出数列的通项公式： an=f(n)=?12n+52. ? 追问2：数列{an}可以看成函数吗？ ? ???? ? an 2 32 ? 1 12 ? 1 2 3 4 ???? ? … … ?12????+52 ? 【提示】数列{an}每一项的序号与这一项an的对应关系，如右图所示，可以看成序号（下标）集合到另一个数的集合的函数. ? 其中，自变量为????，函数值为an， 解析式为通项公式an=?12n+52. ? 从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集）的函数. ? 数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式. 思考2：你能总结出一般数列与函数的关系吗？ 探究点2：数列的单调性 1 2 3 4 … 2 1 … 思考1：试用研究函数的方法研究⑥中数列的性质，你能得到什么？ 【提示】数列作为一种特殊的函数，也可以用列表法和图象法表示. an ? n ? 32 ? 12 ? 孤立的点 由于数列是定义在正整数集（或其子集）上的函数，所以它的图象是相应函数图象上横坐标为正整数的一些孤立的点. 因为函数fx=?12x+52是减函数，所以数列{an}中的数逐渐减小. ? 思考2：参考函数单调性，你能给出数列单调性的定义吗？ 数列的单调性： 递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列叫递增数列； 递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列递减数列； 常数数列：各项都相等的数列称为常数数列（常数列） 追问：如何用符号表示数列的单调性？ ????????+1>?????????{an}递增； ????????+1????≥1，所以1????(????+1)>0， ? 从而????????+1?????????>0，即????????+1>????????. ? 因此{an}是递增数列. ? 思考：如何比较an+1与 an的大小？ ? =(1?1????+1)?(1?1????)， ? 思考：还有什么方法判断{????????}的单调性？ ? （方法三:函数法）因为函数????(????)=?????1????=1?1????在(0,+∞)上是增函数， 由此可知，数列{an}是递增数列. ? (2)（方法二：作商法）因为????????+1????????=(????+1)?1????+1?????1???? ? =????2????2?1，(????≥2) ? 因为????2>????2?1，所以????2????2?1>1，即????????+1????????>1 ? 所以????≥2时，????????+1>????????. ? 又因为????1=0,????2=12. ? 因此{an}是递增数列. ? 数列单调性判断方法： (1)定义法； (2)作差比较法：比较????????+1-????????与0的大小； ? (3)作商比较法：比较????????+1????????与1 ... ...
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