3.3空间向量基本定理及向量的直角坐标运算同步练习 学校:_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、单选题 1．空间四边形中，，，，点为中点，点为靠近的三等分点，则等于（ ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是（ ） A． B． C． D． 3．以下四个命题中，正确的是（ ） A．若，则三点共线 B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 C． D．若，且，则 4．如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（ ） A． B． C． D． 5．正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．在正方体中，点在线段上，且.当为锐角时，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A． B． C．2 D．10 8．若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知向量，则（ ） A． B． C． D．向量的夹角为 10．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．在三棱锥中，，，为的中点，为上一点，球为三棱锥的外接球，则下列说法正确的是（ ） A．球的表面积为 B．点到平面的距离为 C．若，则 D．过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为2 12．如图，正三棱柱的各棱长均为，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则以下结论正确的是（ ） A．设向量旋转后的向量为，则 B．点的轨迹是以为半径的圆 C．设在平面上的投影向量为，则的取值范围是 D．直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是 三、填空题 13．如图，四棱锥中，底面，底面是边长为6的正方形，且四棱锥的外接球的表面积为，点在线段上，且为线段的中点，则点到直线上任意点的距离的最小值为 ． 14．如图，在四面体OABC中，点M、N分别为线段OA、BC的中点，若，则 ． 15．如图，设为所在平面外任意一点，为的中点，若，则 . 16．已知是轴上的动点，当时，点的坐标为 ；当取最小值时，点的坐标为 ． 四、解答题 17．如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且． (1)试用基底表示向量； (2)求线段的长． 18．三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：．若，则称为空间向量与的叉乘，其中（），（），为单位正交基底．以O为坐标原点、分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A，B是空间直角坐标系中异于O的不同两点． (1)①若，，求； ②证明：． (2)记的面积为，证明：． (3)证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的6倍． 19．如图所示，在三棱锥中，，，． (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 20．如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 21．如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求异面直线和夹角的余弦值． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 参考答案： 1．D 【分析】利用向量的加减法规则,运算即可得出结果. 【详解】在四面体ABCD中，，，， 点为中点，点为靠近的三等分点，则 故选：D. 2．A 【分析】根据空间中点关于平面对称的知识确定正确答案. 【详解】依题意，点关于平面对称的点坐标是. 故选：A 3．B 【分析】根据向量三点共线可判断A；假设共面，设得出矛盾可判断B；举反例可判断C；利用数量积公式计算可判断D. 【详解】对于A，若三点共线，则，且， 而，故A错误； 对于B，假设共面， 设， 因为为空间的一个基底，所以， 该方程组无解，假设不成立，故B正确； 对于C，设， 则，， ... ...
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