2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 第 7章 三角函数 ７.４正切函数的图像与性质 学习目标 1.能画出正切函数的图象．(重点) 2.掌握正切函数的性质．(重点、难点) 3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易错点) 请问:研究正弦函数、余弦函数之后你积累了那些经验？ 单位圆技法 平移正弦线、余弦线 诱导公式、函数性质 画函数图象 五点法 描点法 知识回顾 情境导入 事实上,中午的气温较早晨高,主要原因是早晨太阳斜射大地,中午太阳直射大地.在相同的时间、相等的面积里,物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多,这就涉及太阳光和地面的角度问题. 研究太阳光和地面的角度问题常常用到哪个函数的性质与图象呢? 想一想 提示 正切函数. 由正切的定义可知，对于任意一个给定的实数????，只要????≠????????+????2????∈????，都有唯一确定的正切值tan????与之对应．按照这个对应关系所建立的函数叫做正切函数， 表示为????=tan???? ．正切函数的定义域是????????∈????且????≠????????+????2????∈???? ． 下面我们探讨正切函数的图像和性质 ? 1 正切函数的图像 我们知道，正切值tan????可以用角a的终边所在直线与直线????=1的交点的纵坐标表示（图７-４-１）．类似于作正弦函数图像的方法，利用单位圆并结合描点法我们可以作出 ????=tan????,????∈?????2,????2 的大致图像（图７-４-２）． ? 新课讲解 因为tan????????+????????=tan????,????∈????,，所以函数????=tan????当????∈????2,3????2,????∈3????2,5????2?…时?的?图?像?与????=tan????，????∈?????2,????2,的图像形状一样，只需将后者图像的位置向右平移????、2????、…就可得到；同理，函数????=tan????当????∈?3????2,?????2，????∈?5????2,?3????2，…时的图像与????=tan???? ????∈?????2,????2的图像形状也一样，只需将后者图像的位置向左平移π、２π、…就可得到．这样，就可以得到函数????=tan????的整个图像（图７-４-３）． ? 因为????=tan????的定义域是????????∈????,????≠????????+????2????∈????，其图像由无穷多支曲线所组成， 它们被直线????=±????2,????=±3????2,????=±5????2,...即????=????????+????2?????∈????所隔开． ? 2 正切函数的性质 （１）周期性 由诱导公式tan????+????=tan????可知，正切函数是周期函数，????????????∈????,????≠0均是它的周期，π是它的最小正周期． ? （２）值域 由正切函数????=tan????的定义可以得到，正切函数????=tan????的值域是实数集R，它既没有最大值，也没有最小值． ? （３）奇偶性 由诱导公式 tan?????=?tan????可知，正切函数????=tan????是奇函数．因此，其图像关于坐标原点对称 ? （４）单调性 由于正切函数是以π为最小正周期的函数，可以先在区间?????2,????2上研究正切函数的单调性． ? 对于区间?????2,????2中的任意给定的满足????10， cos????2>0,且sin????1?????2>0. ? 由上式就有tan????2?tan????1>0，即tan????2>tan????1从而正切函数????=tan???? 在区间?????2,????2上是严格增函数． ? 又因为正切函数是以π为最小正周期的周期函数，所以正切函数????=tan????在区间?????????????2,????????+????2????∈???? 上是严格增函数． ? 例１ 求函数????=tan????6????+????3 的定义域和单调区间 ? 解：由正切的定义，该函数的自变量????满足????6????+????3≠????????+????2,即????≠6????+1??? ... ...
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