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课件网) 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1.1 变化率问题 为了描述现实世界中的运动、变化现象, 在数学中引入了函数. 刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念 . 在对函数的深入研究中 , 数学家创立了微积分 , 这是具有划时代意义的伟大创造 , 被誉为数学史上的里程碑. 微积分的创立与主要与处理四类科学问题直接相关. 一是已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度, 反之, 已知物体的加速度作为时间的函数, 求速度与路程; 二是求曲线的切线; 三是求已知函数的最大值与最小值; 四是求长度、面积、体积和重心等. 历史上的科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶, 牛顿和莱布尼茨在前人探索和研究的基础上,凭着敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地成立了微积分. 导数是微积分的核心概念之一, 是现代数学的基本概念, 蕴含着微积分的基本思想；导数定量刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具 . 在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想 . 通过具体的实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义. 学习目标 学习目标 1. 通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法. 2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法. 3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念． 新课引入 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的, “指数爆炸”比“直线上升”快得多, 进一步地, 能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢 下面我们就来研究这个问题. 问题1 高台跳水运动员的速度 探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位: m)与起跳后的时间t (单位: s)存在函数关系 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢 变化率：一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率. 课堂探究 探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位: m)与起跳后的时间t (单位: s)存在函数关系 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢 课堂探究 思考 计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考下列问题： (1) 运动员在这段时间里是静止的吗 (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneous velocity). 课堂探究 探究 瞬时速度与平均速度有什么关系 你能利用这种关系求运动员在t=1 s时的瞬时速度吗 任意取一个时刻 1十 t， t是时间改变量， t ≠ 0 当 t >0时， 1十 t在1之后，用运动员在时间段[1, 1十 t]内的平均速度近似表示运动员在t=1时的瞬时速度； 当 t <0时，1十 t在1之前，同样时间段[1十 t, 1]内的平均速度近似表示运动员在t=1时的瞬时速度. 为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格： 当 t <0时，在时间段[1十 t, 1]内 当 t >0时， 在时间段[1, 1十 t]内 t t 通过观察可得，当 t无限趋近于0，即无论 t 从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－5. 新课讲解 事实上，由 可以发现，当 t在无限趋近于0时，事实上，由 也无限趋近于0，所以 无限趋近于－5. 这与前 ... ...
