贵州省贵阳市北京师范大学贵阳附属中学2023-2024学年高二下学期3月第一届“圆周率”杯竞赛数学试题（含答案）

北京师范大学贵阳附属中学 第一届“π”杯数学竞赛(高二年级) 一、填空题(本题共8小题，每题8分，共64分) 1．设集合，，则_____． 2．设，为单位向量，且，则_____． 3．设球在圆柱内，且圆柱的底面直径和高都等于该球的直径，则球与圆柱的体积之比是_____． 4．在中，，BC边上的高等于，则_____． 5．过坐标原点O且与曲线相切的直线方程为_____． 6．已知，则的最大值为_____． 7．已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为_____． 8．设a，b为正整数，且是函数的一个零点，则_____． 二、解答题(第9题16分，第10题20分，共36分) 9．已知数列满足：，． (1)证明：是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)证明：． 10．已知双曲线的中心为原点O，左、右焦点分别为，，离心率为，点P是直线上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足． (1)求实数a的值; (2)证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值； (3)若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l，与双曲线右支交于不同两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足．证明：点H恒在一条定直线上． 北京师范大学贵阳附属中学 第一届“π”杯数学竞赛(高二年级) 参考答案 一、填空题(本题共8小题，每题8分，共64分) 1． 2．0 3． 4． 5． 6． 7．208.5 二、解答题(第9题16分，第10题20分，共36分) 9．(1)因为，， 所以， 故是以2为首项、2为公比的等比数列． 因此，， 故． (2)因为当时，， 所以， 于是． 10．(1)由题意得，且，解得． (2)证明：由(Ⅰ)知，直线，． 设，． 因为，所以，得． 又在E上，所以，得． 所以． 所以直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值． (3)设，，．则 ，，即，． 设，则 即 整理得， ，① ，② ，③ ．④ 由①×③，②×④得 ，⑤ ．⑥ 将，代入⑥， 得．⑦ 将⑤代入⑦，得． 所以点H恒在定直线上．